MOOC Estimation des incertitudes de mesure en analyse chimique

Examinons maintenant une autre fonction de distribution : la T ou la dite distribution de Student. La distribution de Student est assez similaire à la distribution normale dans le sens où elle est aussi caractérisée par une valeur moyenne et un écart-type. Mais en plus de ces deux valeurs, elle est aussi caractérisée par le nombre de degrés de liberté, ce qui la rend différente de la fonction de distribution normale. Quand rencontrons-nous la distribution de Student ? La distribution de Student est rencontrée tout d'abord dans tous les cas où nous utilisons des valeurs moyennes, donc lorsque nous effectuons des mesures répétées de la même quantité et que nous utilisons la valeur moyenne de ces répétitions. La valeur moyenne est également une quantité aléatoire et obéit aussi à une fonction de distribution. La valeur moyenne des valeurs distribuées normalement est distribuée selon la distribution de Student. Revenons un instant à la distribution normale. Nous avons examiné cela très attentivement et nous avons découvert que ces probabilités ici sont plutôt importantes car elles nous posent les probabilités de couverture des différentes incertitudes. Ainsi, par exemple, l'incertitude type a une probabilité de couverture d'environ 68% et l'incertitude élargie k2 a une probabilité de couverture d'environ 95% si le résultat est distribué selon la distribution normale. Lorsque j'ai expliqué cela, j'ai déjà mentionné qu'il y aurait des cas où ces 95% ne tiendront pas si nous utilisons l'incertitude élargie k2. En fait, l'une des raisons principales, qui ne tient pas toujours, est la distribution de Student. Voyons comment cela se fait et que signifie le nombre de degrés de liberté. Le nombre de degrés de liberté est égal au nombre de mesures parallèles moins un. Donc si la valeur moyenne est obtenue à partir de 101 mesures, alors le nombre de degrés de liberté est 100. À partir de 11 mesures c'est 10, à partir de 6 mesures c'est 5 et si elle est obtenue à partir de 3 mesures seulement, alors le nombre de degrés de liberté est 2. Maintenant, la distribution de Student possède une propriété intéressante qui est qu'à chaque fois que le nombre de degrés de liberté approche l'infini, la distribution de Student approche la distribution normale. Pour tous les cas pratiques, nous pouvons voir que, disons pour 50 à 30 mesures, cela nous donne une fonction de distribution qui est presque non distinguable de la distribution normale. Par conséquent, la courbe de distribution normale ici, qui correspond à 100 degrés de liberté, peut être considérée comme une distribution normale. Par conséquent, la courbe de distribution de Student ici, qui est obtenue à partir de 101 mesures, peut être considérée comme une distribution normale. Mais maintenant, comme le nombre de degrés de liberté décroit, ce qui est la conséquence d'un nombre inférieur de mesures répétées, d'un nombre inférieur de mesures parallèles, la forme de la fonction de distribution change et elle change de façon intéressante. Vous pouvez donc voir ici, au centre, que l'intensité diminue de sorte que la probabilité de la valeur moyenne vraie ici décroit quelque peu, mais dans un même temps, les queues deviennent de plus en plus puissantes. C'est pourquoi, nous pouvons dire que la probabilité, dans une certaine mesure, s'éloigne depuis le centre vers les queues et cela implique, que si notre résultat est distribué selon la distribution normale, alors l'incertitude k2 peut être une incertitude avec une probabilité bien inférieure à 95%. Nous pouvons l'examiner de cette manière : si c'est une distribution normale, alors l'aire de cette partie ici plus l'aire de cette partie là est d'environ 4,5%, ce qui est la probabilité qui reste en dehors de 95,5%. Mais nous voyons que, comme le nombre de degrés de liberté décroit, la queue devient de plus en plus intense, ce qui signifie que l'aire devient de plus en plus large. De fait, chaque fois que nous avons un nombre de degré de liberté plus faible, la probabilité que nous pouvons atteindre avec l'incertitude élargie k2 devient inférieure à 95%. Ça peut être 93, 92, même 85% si le nombre de degré de liberté est petit. Maintenant, il est intéressant de noter que, comme nous le verrons et commenterons dans certains exemples, nos résultats de mesures ne sont généralement pas distribués normalement ni selon la distribution de Student. Leur distribution est généralement la convolution de différentes distributions. Comme je l'ai déjà expliqué, lorsque notre résultat de mesure est influencé par de nombreuses quantités d'entrée différentes, si chacune de ces quantités d'entrée a sa propre fonction de distribution, si le nombre de ces quantités ou de facteurs d'influence approche l'infini, alors la fonction de distribution approche la distribution normale, de sorte que si le résultat de mesure est influencé par de nombreux facteurs, alors nous pouvons généralement supposer qu'il est distribué normalement. En réalité cependant, il arrive très souvent qu'il y ait un, deux ou trois facteurs d'influence forts et que les autres ne le soient pas autant. Dans ce cas, les facteurs forts déterminent la forme de la fonction de distribution de la quantité de sortie. Et si un de ces facteurs d'influence forts a une distribution T avec un faible nombre de degrés de liberté, alors notre résultat sera distribué selon une convolution de distribution normale et T et dans un tel cas, l'incertitude k2 correspond à une probabilité de couverture qui est inférieure à 95%. En pratique, une telle situation se produit le plus souvent s'il y a une quantité importante et influente d'entrée qui est obtenue en tant que valeur moyenne de, disons trois, quatre ou cinq mesures. Donc si trois, quatre ou cinq mesures sont moyennées en une valeur moyenne, et que cette valeur moyenne a une influence importante sur l'incertitude de mesure, alors nous pouvons être assez sûrs que le résultat est distribué non pas selon une distribution purement normale mais par une distribution et convolution mixte d'une distribution normale et une distribution de Student.