4. Les concepts et outils fondamentaux

4.2. Moyenne, écart type, incertitude de mesure

https://sisu.ut.ee/measurement/32-mean-standard-deviation-and-standard-uncertainty

Résumé : Ce cours explique le calcul de la moyenne (Vm) et de l’écart type (s), illustrant encore la probabilité de 68% associée à s. Il explique comment l’incertitude type de la répétabilité u (V, REP) peut être estimée en tant qu’écart type des résultats de mesure en parallèle. Il souligne l’importance de l’incertitude type en tant que paramètre clé dans la réalisation des calculs d’incertitude : les incertitudes correspondant à différentes sources (pas seulement la répétabilité) et à différentes fonctions de distribution sont converties en incertitudes-types lorsque des calculs d’incertitude sont effectués.

Moyenne, écart type, incertitude de mesure

http://www.uttv.ee/naita?id=17554
 

 Let us now take a closer look at the mean value and standard deviation. And we will do that again on the example and we will use pipetting example again for this. So suppose we have a pipette and we are pipetting a volume which we denote by VG. And we pipetting at several times and we get each time a slightly different volume because of the random effects that affect pipetting. So the volumes that we actually get are the following : V1 V2 V3 etc until Vn so these are here the individual volumes and n is the number of measurements. Now with these volumes , with these values on volume obtained during those parallel pipetting operations we can calculate both the mean and the standard deviation very easily. We denote mean by Vm and it is obviously found by summing up all those individual volumes and dividing by the number of the volumes. And this thing can be equally well written as follows. So here we denote by the Sigma sign the sum of all these volumes, each and every of those individual volumes here is denoted by the single Vi and i changes from 1 to n so that these two equations are equivalent. And now the standard deviation is calculated as follows. Here it is. so it is the square root of this term which in the numerator has again a sum again from 1 to n meaning involving all those volumes but now we sum up the squares of differences of each and every of this volume and the mean volume and we divide all that by n minus 1 and finally take the square root. So mathematically speaking, standard deviation is something like root mean square of differences of the individual volumes from the mean volume and this minus 1 comes from the fact that we do not do infinite number of measurements but we do a finit number of measurement. Now, the mean value for us characterizes the most probable volume that we obtain when we make pipeting. So every next volume that we're pipeting using the same pipet under these same conditions will most probably be very near to the mean value. But standard deviation characterizes the scatter, the spread of those values. It characterizes how well our parallel pipetting operations agree between themselves and obviously the smaller is the standard deviation the better we are in pipeting. So now, this standard deviation can be interpreted also in two very important ways. So first of all if now we have calculated this mean value and the standard deviation, then the probability of every next pipeting falling within the mean plus minus one standard deviation region is roughly 68% and this percentage comes from the properties of the normal distribution function. So this is the first important thing and the second important thing we now come to the quantifying measurement uncertainty. And standard deviations are very important means, actually the most important means, of characterizing measurement uncertainty and in fact the uncertainty due to repeatability, meaning, due to random effects of any individual pipetted volume is characterized by standard deviation and this uncertainty is denoted as the standard uncertainty. So we can speak about the standard uncertainty, denoted by small u, of this volume which we measure by pipetting ; due to repeatability meaning this is one uncertainty components : the repeatability uncertainty component ; and this is equal to this same standard deviation. Let us now briefly summarize what we just saw. So the mean value characterizes the most probable value with that we can obtain by next pipeting. Then the standard deviation characterizes the scatter and also the standard deviation carries two important bits of information. On one hand it defines the range within which the probability of finding the next pipetted volume is roughly 68% ; and finally, via standard deviation, we define standard uncertainty which is denoted by small u and oftentimes is also called uncertainty at the standard deviation level or in other words, uncertainty at roughly 68% probability. In the very introductory slide, I explained that uncertainty range always involves a certain probability meaning we cannot define the range with 100% probability. So in this case, if uncertainty is expressed at the standard uncertainty level, the probability is roughly 68 %. And we will see later on that standard uncertainty is perhaps the most important way of presenting uncertainty for us because the calculations in uncertainty estimation all go via standard uncertainties, meaning if the uncertainty component of certain uncertainty sources are characterized by some other way they all will need to be transformed into standard uncertainties before they can be combined.     Examinons maintenant de plus près la valeur moyenne et l'écart-type. Et nous le ferons à nouveau sur un exemple et nous utiliserons encore l'exemple de pipettage pour cela. Donc supposons que nous avons une pipette et que nous pipettons un volume que nous notons VG. Et nous pipettons à plusieurs reprises et nous obtenons à chaque fois un volume légèrement différent en raison des effets aléatoires qui affectent le pipettage. Donc les volumes que nous obtenons réellement sont les suivants : V1, V2, V3 etc jusqu'à Vn. Donc ce sont ici les volumes individuels et n est le nombre de mesures. Maintenant avec ces volumes, avec ces valeurs de volume obtenus pendant ces opérations de pipettage en parallèles, nous pouvons calculer à la fois la moyenne et l'écart type très facilement. On note Vm la moyenne et on la trouve évidemment en faisant la somme de tous les volumes individuels et en divisant par le nombre de volume. Et cette chose peut être aussi bien écrite comme ceci. Donc, ici, on note par le symbole sigma la somme de tous les volumes. Chacun de ces volumes individuels ici est noté seulement sous le signe Vi et i change de 1 à n de sorte que ces deux équations soient équivalentes. Et maintenant l'écart-type est calculé comme ceci. Et voilà. C'est donc la racine carrée de ce terme qui, au numérateur, a à nouveau une somme de 1 à n signifiant l'implication de tous ces volumes mais maintenant nous faisons la somme des carrés des différences de chacun de ces volumes au volume moyen, et nous divisons l'ensemble par n moins 1 et on en fait finalement la racine carrée. Donc mathématiquement parlant, l'écart type est quelque chose comme la moyenne quadratique des différences des volumes individuels par rapport au volume moyen. Et ce "moins 1" vient du fait que nous ne faisons pas un nombre infini de mesures mais nous faisons un nombre fini de mesures. Maintenant, la valeur moyenne pour nous caractérise le volume le plus probable que nous obtenons lorsque nous pipettons. Donc, chaque volume suivant que nous pipettons en utilisant la même pipette, dans les mêmes conditions, sera très probablement très proche de la valeur moyenne. Mais l'écart type caractérise la dispersion, la propagation de ces valeurs. Il caractérise à quel point, nos opérations de pipettage parallèles s'accordent entre elles. Et évidemment, plus l'écart type est petit, meilleur est notre pipettage. Donc maintenant, cet écart type peut être également interprété de deux manières très importantes. Donc tout d'abord, si maintenant nous avons calculé cette valeur moyenne et l'écart type, alors la probabilité que chaque pipettage suivant tombe dans la gamme, moyenne plus ou moins un écart type est d'environ 68%. Ce pourcentage provient de la probabilité de la fonction normale de distribution. C'est donc la première chose importante et la seconde chose importante; nous arrivons maintenant à la quantification de l'incertitude de mesure. Et les écarts-types sont des moyens très important, en fait ,les moyens les plus importants, pour caractériser l'incertitude de mesure. Et en fait, l'incertitude due à la répétabilité, c’est-à-dire, due aux effets aléatoires de volume pipetté individuellement, est caractérisée par l'écart-type et cette incertitude est notée incertitude type. Donc nous pouvons parler de l'incertitude type, notée petit u, de ce volume que nous mesurons par pipettage dûe à la répétabilité, signifiant que c'est une composante d'incertitude; la composante d'incertitude de répétabilité et c'est égal à ce même écart-type. Résumons maintenant brièvement ce que nous venons juste de voir. Donc la valeur moyenne caractérise la valeur la plus probable que nous pouvons obtenir avec le pipettage suivant. Puis l'écart-type caractérise la dispersion .Et aussi l'écart-type comporte deux informations importantes. D'une part, il définit la gamme dans laquelle la probabilité de trouver le prochain volume pipetté est d'environ 68% ; et finalement, via l'écart-type, nous définissons l'incertitude type qui est notée avec un petit u et qui est aussi souvent appelée incertitude au niveau de l'écart-type. Ou dans d'autres mots, incertitude à une probabilité d'environ 68%. Dans la diapositive d'introduction, j'ai expliqué que la gamme d'incertitude implique toujours une certaine probabilité. Ce qui signifie que nous ne pouvons pas définir la gamme avec 100% de probabilité. Donc, dans ce cas, si l'incertitude est exprimée au niveau de l'incertitude type, la probabilité est d'environ 68%. Et nous verrons plus tard que l'incertitude type est peut-être la façon la plus importante de présenter l'incertitude pour nous car, les calculs dans l'estimation de l'incertitude passent tous par les incertitudes-types, ce qui signifie que si les composantes d'incertitude de certaines sources d'incertitude sont caractérisées d'une autre façon, elles devront toutes être transformées en incertitudes-types avant de pouvoir être combinées. 


L'une des approches les plus courantes pour améliorer la fiabilité des mesures consiste à répliquer des mesures de la même quantité. Dans un tel cas, très souvent, le résultat de la mesure est présenté comme la valeur moyenne des mesures répétées. Dans le cas de pipettage, on obtient n fois avec les mêmes volumes de pipette V1, V2,…, Vn et la valeur moyenne Vm est calculée comme suit:

  (3.2)


Comme expliqué à la section 3.1, la moyenne calculée de cette manière est une estimation de la valeur moyenne réelle (qui pourrait être obtenue s'il était possible d'effectuer un nombre infini de mesures).

La dispersion des valeurs obtenues à partir de mesures répétées est caractérisée par l'écart type des volumes de pipettage, qui, dans le même cas de pipettage, est calculé comme suit:

(3.3) 

Le n-1 du dénominateur est souvent appelé nombre de degrés de liberté. Nous verrons plus tard qu'il s'agit d'une caractéristique importante d'un ensemble ou de mesures répétées. Plus il est élevé, plus la moyenne et l'écart type peuvent être fiables.

Deux interprétations importantes de l'écart type:

  1. Si Vm et s(V) ont été trouvés grâce à un nombre suffisamment grand de mesures (généralement 10 à 15 suffisent), la probabilité que chaque mesure suivante (effectuée dans les mêmes conditions) tombe dans la plage Vm ± s (V) est environ 68,3%.
  2. Si nous effectuons plusieurs mesures répétées dans les mêmes conditions, l'écart-type des valeurs obtenues caractérise l'incertitude due à la répétabilité non idéale (souvent appelée incertitude type de répétabilité) de la mesure: u(V,REP)=s(V). La répétabilité non idéale est l’une des sources d’incertitude dans toutes les mesures.

L’écart-type est la base de la définition de l’incertitude type, ou incertitude au niveau de l’écart-type, indiquée par un petit u. Trois aspects importants de l’incertitude type méritent d’être soulignés ici:

  1. L'écart type peut également être calculé pour des quantités qui ne sont pas normalement distribuées. Cela permet d'obtenir pour eux des estimations d'incertitude type.
  2. De plus, les sources d’incertitude systématiques par nature et qui ne peuvent pas être évaluées par des mesures répétées peuvent toujours être exprimées numériquement sous forme d’estimations d’incertitude type.
  3. Convertir différents types d'estimations d'incertitude en incertitude type est très important car, comme nous le verrons à la section 4, la plupart des calculs de l'évaluation de l'incertitude, notamment en combinant les incertitudes correspondant à différentes sources d'incertitude, sont effectués à l'aide d'incertitudes-types.


L'incertitude-type d'une quantité (dans notre cas, le volume V) exprimée en unités de cette quantité est parfois appelée incertitude-type absolue. L'incertitude type d'une quantité divisée par la valeur de cette quantité est appelée incertitude type relative, urel (de la même manière que l'équation 1.1). Dans le cas du volume V:

  (3.4)

 

Autoévaluation sur cette partie du cours : Test 3.2  

https://sisu.ut.ee/measurement/measurement-1-7

***

[1] Nous verrons plus loin que l'écart-type des mesures répétées dans des conditions qui changent de manière prédéfinie (c'est-à-dire qu'il ne s'agit pas de répétabilité) est également extrêmement utile dans le calcul de l'incertitude, car il permet de prendre en compte plusieurs sources d'incertitude simultanément.