Analyse 3

Nombres réels : sup, inf. Relations d’ordre. Retour sur la preuve de la convergence des suites monotones minorées/majorées. Suites extraites, preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass, preuve du théorème de Weierstrass. Continuité uniforme. 

Intégrale de Riemann : fonctions en escaliers. Fonctions continues par morceaux. Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Sommes de Riemann : si \( f : [a, b] \to \mathbb{R}\) est continue par morceaux alors la somme de Riemann \(\displaystyle \dfrac{b-a}{n}\sum_{k=0}^n f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\) tend vers l'intégrale de\( f \) sur \( [a,b]\). Preuve dans le cas où \( f \) est \(C^1\). Théorème fondamental du calcul intégral (preuve).

Méthode des rectangles, des trapèzes. Polynômes d’interpolation de Lagrange et construction de formules de quadrature.  

Intégrales généralisées pour les fonctions \(f : I \to \mathbb{R }\) continues par morceaux sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \). Convergence. Linéarité, positivité, relation de Chasles. Cas des fonctions à valeurs positives. Intégrales de Riemann et de Bertrand. Théorèmes de comparaison. Convergence absolue. Exemple d'intégrale semi-convergente. Changements de variables. Intégration par parties. Abel hors programme. 

Séries numériques. Convergence. Linéarité, positivité. Séries à termes positifs. Théorèmes de comparaison. Critères de Cauchy et de d'Alembert.

Comparaison série/intégrales. Séries de Riemann et de Bertrand. Convergence absolue. Absolue convergence implique convergence. Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Séries semi-convergentes. Séries alternées. Le critère d’Abel est hors programme.