• Consultez les prérequis à cette UE.

    Responsable de l'UE : Thomas Blossier (bureau 109D)

    Chargés de TD : Tuna Altınel, Thomas Blossier, Sébastien Gauthier, Pierre Gonin-Joubert, Baptiste Schilling

    Emploi du temps prévisionnel  :

    • Prochain cours mardi 18 novembre de 8h à 11h15 en Amphi 5 du déambulatoire
    • Cours suivants des 25 novembre et 2 décembre de 9h à 11h en Amphi 5
    • travaux dirigés tous les mercredis de 14h à 17h15
    • L'examen est prévu entre le 5 et 16 janvier (durée 2h).
      Une séance de soutien aura lieu mardi 9 décembre à 9h Amphi 5 du déambulatoire
      (voir l'onglet évaluation)

    • Chapitre 1 : Nombres réels

      Cours du 2 septembre : 
      Approche axiomatique de \(\mathbb{R}\) : unique corps commutatif totalement ordonné satisfaisant l'axiome de la borne supérieure (existence et unicité admises). Propriétés de l'ordre. (Exemples/culture :  \(\mathbb{Q}\) est également un corps totalement ordonné, par contre le corps  \(\mathbb{C}\) ne peut être muni d'un ordre qui en fait un corps totalement ordonné.) Valeur absolue et inégalité(s) triangulaire(s). (Voir le diaporama de rappels sur les nombres réels de l'UE Analyse 2 - diapos 2 à 9.) Majorants, minorants, parties majorées, minorées, maximum, minimum (exemple des segments). Une propriété de \(\mathbb{N}\)  : toute partie non vide de \(\mathbb{N}\) admet un minimum. \(\mathbb{R}\) est archimédien (\(\mathbb{Q}\) également) : \(\forall a \in \mathbb{R} \;\exists n \in \mathbb{N}\; n>a \), c.à.d. \( \mathbb{N}\) n'est pas majorée dans \(\mathbb{R}\). La suite \((1/n)_{n \geq 1}\) converge vers \(0\). Toute partie non vide majorée de \(\mathbb{Z}\) admet un maximum. Partie entière, densité de \(\mathbb{Q}\). Borne supérieure, lien avec maximum, exemple des intervalles. Axiome de la borne supérieure. Exemple de l'intersection d'un intervalle avec \(\mathbb{Q}\).  (Pour la culture : \(\mathbb{Q}\) ne satisfait pas l'axiome de la borne supérieure). Caractérisations de la borne supérieure. Exemples. Preuve de la convergence des suites monotones majorées/minorées. Suites adjacentes.
      Cours du 9 septembre
      Suites extraites.Théorème de Bolzano-Weierstrass. Suites de Cauchy. Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes (toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes)
      Cours du 16 septembre
      Fonctions uniformément continues, exemple \(x \mapsto \sin x\) sur \(\mathbb{R}\). Caractérisation séquentielle. La fonction \(x \mapsto x^2\) n'est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\). Théorème de Heine. Exemple d'application : \(x \mapsto \dfrac{\sin x}x\) sur \(]0,1]\). [Pour la suite du cours, des TD et TP, revoir le théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis, formules de Talylor-Lagrange; les comparaisons de fonctions (petit o, équivalents) et le chapitre d'analyse 2 sur les développements limités.]

    • Chapitre 2 : Intégrale de Riemann & Intégration numérique

      Cours du 16 septembre : Subdivisions d'un segment. Fonctions en escaliers. Une définition de l'intégrale. Propriétés de l'intégrale. (Voir le diaporama et illustrations sur Geogebra.) Fonctions continues par morceaux.
       
      Cours du 23 septembre : Les fonctions continues par morceaux sont intégrables. Preuve pour une fonction continue.
      Exemple d'une fonction non intégrable.
      Théorème fondamental & co :
      • Définition de primitive d'une fonction sur un intervalle. Si \(F_1\) et \(F_2\) sont deux primitives d'une même fonction sur un intervalle alors il existe une constante \(K\) telle que \(F_2=F_1+K\).
      • Théorème fondamental (du calcul intégral) : soit \(I\) un intervalle, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) continue et \(a\in I\). Alors \( \displaystyle F_a\colon I\to\mathbb{R},\ x\mapsto \int_a^xf(t)dt\) est  l'unique primitive de \(f\) sur \(I\) qui s'annule en \(a\).
      • Corollaire 1 : soit \(I\) un intervalle, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) continue. Alors \(f\) admet des primitives sur \(I\) et si \(F\) est une primitive quelconque de \(f\) sur \(I\) alors pour tout \((a,b)\in I^2\), \(\displaystyle\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=\big[F(x)\big]_a^b\).
      • Corollaire 2 : soit \(I\) un intervalle, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\). Alors pour tout \((a,b)\in I^2\), \(\displaystyle f(b)-f(a)=\int_a^bf'(x)dx\).
      • Proposition : toute fonction continue et positive sur un segment dont l'intégrale sur ce segment est nulle, est identiquement nulle sur ce segment.
       
      Cours du 30 septembre :
      • Intégration par parties : soit \(f\colon [a,b]\to\mathbb{R}\) et \(g\colon [a,b]\to\mathbb{R}\) de classe \(C^1\). Alors, \( \displaystyle\int_a^bf'(x)g(x)dx=\big[f(x)g(x)\big]_a^b-\int_a^bf(x)g'(x)dx\).
      • Formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral : soit \(n \in \mathbb{N}\), \(I\) un intervalle, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\). Alors pour tout \((a,b)\in I^2\) :
        \( \displaystyle f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\dfrac{(b-a)^2}{2!}f''(a) +\cdots + \dfrac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a) +\int_a^b \dfrac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt \)
      • Changement de variables : soit \(I\) et \(J\) deux intervalles, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) continue et \(\varphi\colon J\to\mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que \(\varphi(J)\subset I\). Alors pour tout \((a,b)\in J^2\), \( \displaystyle\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)dx\)
      • Exemples.
      • Sommes de Riemann, preuve de la convergence et majoration de l'erreur dans le cas d'une fonction de classe \(C^1\). (Voir diaporama.)
      Cours du 7 octobre : intégration numérique : formules de quadrature, méthodes des rectangles, méthode des trapèzes, interpolation de Lagrange, méthodes composites, méthode de Simpson. (Voir diaporama.)

    • Chapitre 3 : Intégrales impropres

      Cours du 7 octobre :
      • Définition (convergence/divergence) pour des intervalles semi-ouverts. Premiers exemples.
      • Intégrales de Riemann :
        • \(\int_1^{+\infty} \frac 1 {t^\alpha} dt\) converge ssi \(\alpha>1\).
        • \(\int_0^1 \frac 1 {t^\alpha} dt\) converge ssi \(\alpha<1\).
      • Linéarité, monotonie, relation de Chasles.

      Cours du 14 octobre :

      • Cas des fonctions à valeurs positives.
        Critère de convergence de \(\int_a^{+\infty} f(t) dt\) pour \(f \geq 0\) : la fonction \(x\mapsto \int_a^{x} f(t) dt\) est croissante et \(\int_a^{+\infty} f(t) dt\) converge ssi \(x\mapsto \int_a^{x} f(t) dt\) est majorée.
        Premier théorème de comparaison : cas où \(f\) est majorée par \(g\) au voisinage de \(+\infty\). (Cas où \(f=o(g)\) ou \(f=O(g)\) au voisinage de \(+\infty\)).
        Intégrales de Bertrand : \(\int_2^{+\infty} \frac 1 {t^\alpha (\ln t)^\beta} dt\) converge ssi \(\alpha>1\) ou (\(\alpha=1 \text{ et } \beta>1\)).
        Second théorème de comparaison : si \(f\) et \(g\) sont équivalentes au voisinage de \(+\infty\), leurs intégrales sont de même nature. 
      • Fonctions de signes arbitraires.
        Intégrales absolument convergentes et inégalité triangulaire. Exemple.

      Cours du 21 octobre :

      • Intégrales semi-convergentes. Exemple : \(\int_1^{+\infty} \frac{sin t}{t} dt\).
      • Intégrales impropres sur des intervalles ouverts. Exemples
      • Intégration par parties pour des intégrales impropres : soit \(I\) un intervalle, \(u\colon I\to\mathbb{R}\) et \(v\colon I\to\mathbb{R}\) de classe \(C^1\), \(a \in I\) et \(b\) une des extrémités de \(I\) (finie ou infinie) tel que la fonction \(uv\) a une limite finie en \(b\) . Alors les intégrales \( \displaystyle\int_a^bu'(t)v(t)dt\) et   \( \displaystyle\int_a^bu(t)v'(t)dt\) sont de même nature, et dans le cas où elles convergent on a \( \displaystyle\int_a^bu'(t)v(t)dt=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^bu(t)v'(t)dt\).
        Remarque : énoncé analogue dans le cas où \(a\) est également une extrémité de \(I\) (finie ou infinie), c'est-à-dire dans le cas où \(I= ]a,b[\).
      • Théorème de changement de variables pour une intégrale impropre : soit \(I\) et \(J\) deux intervalles, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) continue et \(\varphi\colon J\to\mathbb{R}\) une fonction strictement monotone de classe \(C^1\) telle que \(\varphi(J)\subset I\).
        Soit \(a\) un élément ou une extrémité (finie ou infinie) de \(J\). Soit \(b\) un élément ou une (autre) extrémité (finie ou infinie) de \(J\).
        Notons \(\alpha = \lim\limits_{x \rightarrow a} \varphi(x)\) et \(\beta = \lim\limits_{x \rightarrow b} \varphi(x)\). Remarque : dans le cas où \(a \in J\), respectivement \(b \in J\), on a \(\alpha = \varphi(a)\), respectivement \(\beta = \varphi(b)\).
        Alors l'intégrale  \( \displaystyle\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt\) est convergente si et seulement si  \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\) est convergente; et si c'est le cas \( \displaystyle\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\).
        Exemple des intégrales de Bertrand en \(0\).

    • Chapitre 4 : Séries numériques & comparaison séries/intégrales

      Cours du 18 novembre (3h) :
      • Généralités : 
        • Notations et définitions (séries, sommes partielles, restes)
        • Premières propriétés : si la série \(\sum u_n\) converge alors la suite \((u_n)\) converge vers \(0\), contre-exemple à la réciproque (la série harmonique diverge).
        • Premiers exemples : séries géométriques, exponentielles, télescopiques.
        • Linéarité et monotonie.
      • Séries à termes positifs :
        • Proposition : Une série \(\displaystyle\sum u_n\) à termes positifs converge si et seulement si la suite \((S_n)\) de ses sommes partielles est majorées et dans ce cas pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(S_n \leq \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\).
          Si cette série à termes positifs diverge alors la suite \((S_n)\) tend vers \(+\infty\) et on écrit dans ce cas \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = +\infty\).
        • Premier théorème de comparaison : soit \(\displaystyle\sum u_n\) et \(\displaystyle\sum v_n\) deux séries et \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq n_0\), on a \(0 \leq u_n \leq v_n\). On a avec cette hypothèse :
          • si la série \(\sum v_n\) converge alors la série \(\sum u_n\) converge et dans ce cas,  \(\displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n \leq \displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} v_n\).
          • (contraposée) : si la série \(\sum u_n\) diverge alors la série \(\sum v_n\) diverge.
          • La réciproque est fausse - contre-exemple : pour tout \(n \geq 1\), \(0 \leq \cfrac{1}{n(n+1)} \leq \cfrac{1}{n}\) et la série \(\displaystyle \sum \cfrac{1}{n(n+1)}\) converge mais la série \(\displaystyle \sum \cfrac{1}{n}\) diverge.
        • Remarque : on peut remplacer l'hypothèse « il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq n_0\), \(0 \leq u_n \leq v_n\) » par \(u_n = o(v_n)\) ou par \(u_n = O(v_n)\) et les termes des deux séries sont positifs pour \(n\) assez grand..
        • Second théorème de comparaison : soit \(\displaystyle\sum u_n\) et \(\displaystyle\sum v_n\) deux séries à termes positifs tel que \(u_n \sim v_n\). Alors la série \(\sum u_n\) converge si et seulement si la série \(\sum v_n\) converge.
        • Remarque : dans le second théorème de comparaison, il n'est pas nécessaire de vérifier au préalable que la série \(\displaystyle\sum u_n\) est à termes positifs, il suffit de vérifier qu'il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq n_0\), \(v_n >0\).
        • Exemples d'applications des 2 théorèmes de comparaison.
        • Règle de Cauchy, exemples.
        • Règle de d'Alembert, exemples dont les séries exponentielles.

      Cours du 25 novembre (prévisionnel) :

      • Séries à termes positifs (fin) :
        • Remarque : si on peut appliquer la règle de d'Alembert, on peut appliquer la règle de Cauchy.
        • Théorème de comparaison avec une intégrale : Soit \(a\) un réel et \(f:[a, +\infty[ \to \mathbb{R}\) une fonction positive décroissante. Alors pour tout \(n_0 \geq a \), la série \(\displaystyle \sum_{n \geq n_0} f(n) \) est convergente si et seulement si l'intégrale impropre \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(t) dt\) est convergente, et dans ce cas, \( \displaystyle \sum_{k = n_0+1}^{\infty} f(k) \leq \int_{a}^{+\infty} f(t) dt \leq \sum_{k = n_0}^{\infty} f(k)\). 
        • Exemples : séries de Riemann, séries de Bertrand.
      • Séries à termes de signes quelconques :
        • Critère de Cauchy .
        • Séries absolument convergentes. Toute série \(\sum u_n\) absolument convergente est convergente (preuve par le critère de Cauchy) et dans ce cas, \(\displaystyle\left|\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|\).
        •  Remarque : si \(u_n = o(v_n)\) tel que \(\sum v_n\) est une série à termes positifs convergente, alors la série \(\sum u_n\) est absolument convergente.
        • Critère de convergence des séries alternées.
        • Exemples
        • Remarque : deux séries peuvent avoir des termes équivalents mais ne pas être de même nature. (Voir exemple détaillé en TD.) 

      Cours du 2 décembre (prévisionnel) :

      • Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Exemples

    • Liste des énoncés et démonstrations à connaître :

      • Chapitre 1
        • Théorème de caractérisations de la borne supérieure : soit \(A\) une partie non vide majorée de \(\mathbb{R}\) et \(b\) un réel. On a \(b=\sup A \) si et seulement si \(b\) est un majorant de  \(A\)  et \( \forall \varepsilon > 0 \; \exists a \in A,\; a > b -\varepsilon\) si et seulement si \(b\) est un majorant de \(A\) et il existe une suite d'éléments de \(A\) qui converge vers  \(b\).
        • Définition des suites de Cauchy. Proposition : toute suite convergente est de Cauchy.
        • Définition des fonctions uniformément continues. Proposition (caractérisation séquentielle) : une fonction \(f: I \to \mathbb{R}\) est uniformément continue si pour toutes suites \((u_n)\) et \((v_n)\) d'éléments de \(I\), si la suite \((v_n-u_n)\) converge vers \(0\) alors la suite \((f(v_n)-f(u_n))\) converge également vers \(0\).
      • Chapitre 2.
        • Théorème fondamental (du calcul intégral) : soit \(I\) un intervalle, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) continue et \(a\in I\). Alors \(F_a\colon I\to\mathbb{R},\ x\mapsto \int_a^xf(t)dt\) est  l'unique primitive de \(f\) sur \(I\) qui s'annule en \(a\).
        • Intégration par parties.
      • Chapitre 3.
        • Toute intégrale absolument convergente est convergente + inégalité triangulaire.
        • Théorème de changement de variables pour une intégrale impropre.
      • Chapitre 4.
        • Proposition : si la série \(\sum u_n\) converge alors la suite \((u_n)\) converge vers \(0\). La réciproque est fausse, contre-exemple de la série harmonique.
        • Critère de convergence d'une série \(\sum u_n\) à termes positifs : la suite \((S_n)_{n \in \mathbb N}\) de ses sommes partielles est croissante et la série \(\sum u_n\) converge ssi la suite \((S_n)_{n \in \mathbb N}\) est majorée.

    • Programme de l'UE - Thématiques abordées

      • Nombres réels : sup, inf. Relations d’ordre. Retour sur la preuve de la convergence des suites monotones minorées/majorées. Suites extraites, preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass, preuve du théorème de Weierstrass. Continuité uniforme. 

      • Intégrale de Riemann : fonctions en escaliers. Fonctions continues par morceaux. Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Sommes de Riemann : si \( f : [a, b] \to \mathbb{R}\) est continue par morceaux alors la somme de Riemann \(\displaystyle \dfrac{b-a}{n}\sum_{k=0}^n f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\) tend vers l'intégrale de\( f \) sur \( [a,b]\). Preuve dans le cas où \( f \) est \(C^1\). Théorème fondamental du calcul intégral (preuve).

      • Méthode des rectangles, des trapèzes. Polynômes d’interpolation de Lagrange et construction de formules de quadrature.  

      • Intégrales généralisées pour les fonctions \(f : I \to \mathbb{R }\) continues par morceaux sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \). Convergence. Linéarité, positivité, relation de Chasles. Cas des fonctions à valeurs positives. Intégrales de Riemann et de Bertrand. Théorèmes de comparaison. Convergence absolue. Exemple d'intégrale semi-convergente. Changements de variables. Intégration par parties. Abel hors programme. 

      • Séries numériques. Convergence. Linéarité, positivité. Séries à termes positifs. Théorèmes de comparaison. Critères de Cauchy et de d'Alembert.

      • Comparaison série/intégrales. Séries de Riemann et de Bertrand. Convergence absolue. Absolue convergence implique convergence. Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Séries semi-convergentes. Séries alternées. Le critère d’Abel est hors programme. 



    • Référence bibliographique

      François Liret et Dominique Martinais Analyse 1ère année (Chapitres 1, 4, 9, 10, 16, 17) - Analyse 2ème année (Chapitres 1 & 2)
      Le tome Analyse 1ère année est accessible numériquement sur ScholarVox.
      Les deux tomes se trouvent à la BU Sciences - la Doua - 4e étage  - côte 515.07 LIR

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