Prochain cours mercredi 20 novembre 2024 à 9h Amphi Jordan
Chapitre 1 : Nombres réels
Cours du 4 septembre :
Approche axiomatique de \(\mathbb{R}\) : unique corps commutatif totalement ordonné satisfaisant l'axiome de la borne supérieure (existence et unicité admises). Propriétés de l'ordre. (Exemples/culture : \(\mathbb{Q}\) est également un corps totalement ordonné, par contre le corps \(\mathbb{C}\) ne peut être muni d'un ordre qui en fait un corps totalement ordonné.) Valeur absolue et inégalité(s) triangulaire(s). (Voir le diaporama de rappels sur les nombres réels de l'UE Analyse 2 - diapos 2 à 9.) Majorants, minorants, parties majorées, minorées, maximum, minimum (exemple des segments). Une propriété de \(\mathbb{N}\) : toute partie non vide de \(\mathbb{N}\) admet un minimum. Principe de récurrence. Toute partie finie non vide admet un minimum et un maximum. \(\mathbb{R}\) est archimédien (\(\mathbb{Q}\) également) : \(\forall a \in \mathbb{R} \;\exists n \in \mathbb{N}\; n>a \), c.à.d. \( \mathbb{N}\) n'est pas majorée dans\(\mathbb{R}\). La suite \((1/n)_{n \geq 1}\) converge vers \(0\). Toute partie non vide majorée de \(\mathbb{Z}\) admet un maximum. Partie entière, densité de \(\mathbb{Q}\). Borne supérieure, borne inférieure, liens avec maximum et minimum, exemple des intervalles. Axiome de la borne supérieure. Exemple de l'intersection d'un intervalle avec \(\mathbb{Q}\). (Pour la culture : \(\mathbb{Q}\) ne satisfait pas l'axiome de la borne supérieure). Caractérisations de la borne supérieure. Exemple. Preuve de la convergence des suites monotones majorées/minorées. Suites adjacentes. Suites extraites.Théorème de Bolzano-Weierstrass. Suites de Cauchy. Cours du 11 septembre Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes (toute fonction continue sur un segment
est bornée et atteint ses bornes). Théorème de Rolle. Théorème des
accroissements finis et Taylor-Lagrange. Fonctions uniformément continues, exemple \(x \mapsto \sin x\) sur \(\mathbb{R}\). Caractérisation séquentielle. La fonction \(x \mapsto x^2\) n'est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\). Théorème de Heine. Exemple d'application : \(x \mapsto \dfrac{\sin x}x\) sur \(]0,1]\). [Pour la suite du cours, revoir également les comparaisons de fonctions (petit o, équivalents) et le chapitre d'analyse 2 sur les développements limités.]
Chapitre 2 : Intégrale de Riemann & Intégration numérique
Cours du 18 septembre : Subdivisions d'un segment. Fonctions en escaliers. Une définition de l'intégrale. Propriétés de
l'intégrale. (Voir le diaporama et illustrations sur Geogebra.) Les fonctions continues par morceaux sont intégrables. Preuve pour une fonction continue.
Cours 25 septembre : Preuve pour une fonction continue par morceaux. Exemple d'une fonction non intégrable.
Théorème fondamental & co :
Définition de primitive d'une fonction sur un intervalle. Si
\(F_1\) et \(F_2\) sont deux primitives d'une même fonction sur un
intervalle alors il existe une constante \(K\) telle que \(F_2=F_1+K\).
Théorème fondamental (du calcul intégral) : soit \(I\) un intervalle, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) continue et \(a\in
I\). Alors \( \displaystyle F_a\colon I\to\mathbb{R},\ x\mapsto \int_a^xf(t)dt\) est l'unique primitive de \(f\) sur \(I\) qui
s'annule en \(a\).
Corollaire 1 : soit \(I\) un
intervalle, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) continue. Alors \(f\) admet des
primitives sur \(I\) et si \(F\) est une primitive quelconque de \(f\)
sur \(I\) alors pour tout \((a,b)\in I^2\),
\(\displaystyle\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=\big[F(x)\big]_a^b\).
Corollaire
2 : soit \(I\) un intervalle, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) de classe
\(\mathcal{C}^1\). Alors pour tout \((a,b)\in I^2\),
\(\displaystyle f(b)-f(a)=\int_a^bf'(x)dx\).
Proposition : toute fonction continue et positive sur un segment dont
l'intégrale sur ce segment est nulle, est identiquement
nulle sur ce segment.
Intégration par parties : soit \(f\colon [a,b]\to\mathbb{R}\) et \(g\colon [a,b]\to\mathbb{R}\)
de classe \(C^1\). Alors, \(
\displaystyle\int_a^bf'(x)g(x)dx=\big[f(x)g(x)\big]_a^b-\int_a^bf(x)g'(x)dx\).
Formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral : soit \(n \in \mathbb{N}\), \(I\) un intervalle, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) de classe
\(\mathcal{C}^{n+1}\). Alors pour tout \((a,b)\in I^2\) : \( \displaystyle f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\dfrac{(b-a)^2}{2!}f''(a) +\cdots + \dfrac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a) +\int_a^b \dfrac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt \)
Changement de variables : soit \(I\) et \(J\) deux intervalles, \(f\colon I\to\mathbb{R}\)
continue et \(\varphi\colon J\to\mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que
\(\varphi(J)\subset I\). Alors pour tout \((a,b)\in J^2\), \(
\displaystyle\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)dx\)
Exemples.
Cours du 9 octobre : sommes de Riemann, intégration numérique : formules de quadrature, méthodes des rectangles, méthode des trapèzes, interpolation de Lagrange, méthodes composites, méthode de Simpson. (Voir diaporama.)
Chapitre 3 : Intégrales impropres
Cours du 16 octobre :
Définition (convergence/divergence). Premiers exemples. Linéarité,
monotonie, relation de Chasles.
Cas des fonctions à valeurs positives. Critère de convergence de \(\int_a^{+\infty} f(t) dt\) pour \(f \geq 0\) : la fonction \(x\mapsto \int_a^{x} f(t) dt\) est croissante et \(\int_a^{+\infty} f(t) dt\) converge ssi \(x\mapsto \int_a^{x} f(t) dt\) est majorée. Intégrales de Riemann : \(\int_1^{+\infty} \frac 1 {t^\alpha} dt\) converge ssi \(\alpha>1\). Premier théorème de comparaison : cas où \(f\) est majorée par \(g\) au voisinage de \(+\infty\). (Cas où \(f=o(g)\) ou \(f=O(g)\) au voisinage de \(+\infty\)). Intégrales de Bertrand : \(\int_2^{+\infty} \frac 1 {t^\alpha (\ln t)^\beta} dt\) converge ssi \(\alpha>1\) ou (\(\alpha=1 \text{ et } \beta>1\)). Second théorème de comparaison : si \(f\) et \(g\) sont équivalentes au voisinages de \(+\infty\),
leurs intégrales sont de même nature.
Cours du 23 octobre :
Fonctions de signes arbitraires. Intégrales absolument convergentes et inégalité triangulaire. Exemple. Intégrales semi-convergentes. Exemple : \(\int_1^{+\infty} \frac{sin t}{t} dt\).
Intégrales impropres sur sur \([a,b[\), \(]a,b]\), \(]a,b[\), \(]-\infty,b]\), \(]a,+\infty[\), \(]-\infty,b[\), \(]-\infty,+\infty[\) où \(a,\;b\) réels tels que \(a<b\). Exemples.
Théorème de changement de variables pour une intégrale impropre : soit \(I\) et \(J\) deux intervalles, \(f\colon I\to\mathbb{R}\)
continue et \(\varphi\colon J\to\mathbb{R}\) de classe \(C^1\) telle que
\(\varphi(J)\subset I\). Soit \(a \in J\) et \(b\) une des extrémités de \(J\) (finie ou infinie). On suppose de plus que \(\varphi(x)\) a une limite \(\ell\) (finie ou infinie) quand \(x\) tend vers \(b\) et que l'intégrale \(\displaystyle\int_{\varphi(a)}^{\ell}f(x)dx\) est convergente. Alors l'intégrale \( \displaystyle\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt\) est convergente et \( \displaystyle\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int_{\varphi(a)}^{\ell}f(x)dx\). Remarque : dans les exemples concrets de changement de variables, la fonction \(\varphi\) sera strictement monotone sur \([a,b[\) (ou \(]b,a]\)), ce qui sans hypothèses supplémentaires entraînera que \(\varphi(x)\) a une limite \(\ell\) (finie ou infinie) quand \(x\) tend vers \(b\) et que l'intégrale \(\displaystyle\int_{\varphi(a)}^{\ell}f(x)dx\) est convergente si et seulement si l'intégrale \( \displaystyle\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt\) est convergente également. Exemple des intégrales de Bertrand en \(0\).
Cours du 13 novembre :
Intégration par parties pour des intégrales impropres : soit I un intervalle, \(u\colon I\to\mathbb{R}\) et \(v\colon I\to\mathbb{R}\)
de classe \(C^1\), \(a \in I\) et \(b\) une des extrémités de \(I\) (finie ou infinie) tel que la fonction \(uv\) a une limite finie en \(b\) . Alors les intégrales \(
\displaystyle\int_a^bu'(t)v(t)dt\) et \(
\displaystyle\int_a^bu(t)v'(t)dt\) sont de même nature, et dans le cas où elles convergent on a \(
\displaystyle\int_a^bu'(t)v(t)dt=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^bu(t)v'(t)dt\). Remarque : énoncé analogue dans le cas où \(a\) est également une extrémité de \(I\) (finie ou infinie), c'est-à-dire dans le cas où \(I= ]a,b[\).
Généralités : Notations et définitions (séries, sommes partielles, restes), premières propriétés : si la série \(\sum u_n\) converge alors la suite \((u_n)\) converge vers \(0\), contre-exemple à la réciproque (la série harmonique diverge).
Cours du 20 novembre (planning prévisionnel) :
Généralités (suite) : premiers exemples : séries géométriques, exponentielles, \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} \frac 1 {n(n+1)}\), linéarité et monotonie, critère de Cauchy.
Série absolument convergente. Toute série \(\sum u_n\) absolument convergente est convergente (preuve par le critère de Cauchy)
et dans ce cas, \(\displaystyle\left|\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|\).
Séries à termes positifs :
Proposition : Une série \(\displaystyle\sum u_n\) à termes positifs converge si et seulement si la suite \((S_n)\) de ses sommes partielles est majorées et dans ce cas pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(S_n \leq \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\). Si cette série à termes positifs diverge alors la suite \((S_n)\) tend vers \(+\infty\) et on écrit dans ce cas \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = +\infty\).
Premier théorème de comparaison : soit \(\displaystyle\sum u_n\) et \(\displaystyle\sum v_n\) deux séries et \(n_0 \in \mathbb{N}\)
tel que pour tout \(n \geq n_0\), on a \(0 \leq u_n \leq v_n\). On a avec cette hypothèse :
si la série \(\sum v_n\) converge alors la série \(\sum u_n\) converge et dans ce cas,
\(\displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n \leq \displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} v_n\).
(contraposée) : si la série \(\sum u_n\) diverge alors la série \(\sum v_n\) diverge.
La réciproque est fausse - contre-exemple : pour tout \(n \geq 1\), \(0 \leq \cfrac{1}{n(n+1)}
\leq \cfrac{1}{n}\) et la série \(\displaystyle \sum \cfrac{1}{n(n+1)}\) converge mais
la série \(\displaystyle \sum \cfrac{1}{n}\) diverge.
Remarque : on peut remplacer l'hypothèse « il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq n_0\), \(0 \leq u_n \leq v_n\) » par \(u_n = o(v_n)\) ou par \(u_n = O(v_n)\) et les termes des deux séries sont positifs pour \(n\) assez grand..
Second théorème de comparaison : soit \(\displaystyle\sum u_n\) et \(\displaystyle\sum v_n\) deux séries à termes positifs
tel que \(u_n \sim v_n\). Alors la série \(\sum u_n\) converge si et seulement si la série \(\sum v_n\) converge.
Remarque : dans le second théorème de comparaison, il n'est pas nécessaire de vérifier au préalable que la série \(\displaystyle\sum u_n\) est à termes positifs,
il suffit de vérifier qu'il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq n_0\), \(v_n >0\).
Liste des des démonstrations à connaître :
Chapitre 1
Théorème de caractérisations de la borne supérieure : soit \(A\) une partie non vide majorée de \(\mathbb{R}\) et \(b\) un réel. On a \(b=\sup A \) si et seulement si \(b\)est un majorant de \(A\) et \( \forall \varepsilon > 0 \; \exists a \in A,\; a > b -\varepsilon\) si et seulement si \(b\)est un majorant de \(A\) et il existe une suite d'éléments de \(A\) qui converge vers \(b\).
Théorème des bornes atteintes : soit \(a<b\) deux réels et \(f: [a,b] \to \mathbb{R} \) une fonction continue, alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes, c.à.d. ils existent deux réels \(c,d \in [a,b]\) tels que \(\displaystyle f(c) = \max_{x\in [a,b]} f(x)\) et \(\displaystyle f(d) = \min_{x\in [a,b]} f(x)\). (Preuve uniquement de la majoration de \(f\) et de l'atteinte de sa borne supérieure.)
Chapitre 2.
Théorème fondamental (du calcul intégral) : soit \(I\) un intervalle, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) continue et \(a\in
I\). Alors \(F_a\colon I\to\mathbb{R},\ x\mapsto \int_a^xf(t)dt\) est l'unique primitive de \(f\) sur \(I\) qui
s'annule en \(a\).
Dans le cas d'une fonction \(f: [a,b] \to \mathbb{R} \)de classe \(C^1\), preuve de la convergence des sommes de Riemann et de la majoration de l'erreur.
Chapitre 3.
Critère de convergence de \(\int_a^{+\infty} f(t) dt\) pour \(f \geq 0\)
: la fonction \(x\mapsto \int_a^{x} f(t) dt\) est croissante et
\(\int_a^{+\infty} f(t) dt\) converge ssi \(x\mapsto \int_a^{x} f(t)
dt\) est majorée.
Toute intégrale absolument convergente est convergente et dans ce cas on a l'inégalité triangulaire.
Chapitre 4.
Proposition : si la série \(\sum u_n\) converge alors la suite \((u_n)\) converge vers \(0\). La réciproque est fausse, contre-exemple de la série harmonique.
Premier et second théorèmes de comparaison.
Programme de l'UE - Thématiques abordées
Nombres réels : sup, inf. Relations d’ordre. Retour
sur la preuve de la convergence des suites monotones minorées/majorées.
Suites extraites, preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass, preuve du
théorème de Weierstrass. Continuité uniforme.
Intégrale de Riemann : fonctions en escaliers.
Fonctions continues par morceaux. Intégrale d’une fonction continue par
morceaux sur un segment. Sommes de Riemann : si \( f : [a, b] \to
\mathbb{R}\) est
continue par morceaux alors la somme de
Riemann \(\displaystyle \dfrac{b-a}{n}\sum_{k=0}^n f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\) tend vers
l'intégrale de\( f \) sur \( [a,b]\). Preuve dans le cas où \( f \) est
\(C^1\). Théorème fondamental du calcul
intégral (preuve).
Méthode des rectangles, des trapèzes. Polynômes d’interpolation de Lagrange et construction de formules de quadrature.
Intégrales généralisées pour les fonctions \(f : I \to \mathbb{R }\)
continues par morceaux sur un intervalle \( I \) de\( \mathbb{R} \). Convergence. Linéarité,
positivité, relation de Chasles. Cas des fonctions à valeurs positives.
Intégrales de Riemann et de Bertrand. Théorèmes de comparaison.
Convergence absolue. Exemple d'intégrale semi-convergente. Changements
de variables. Intégration par parties. Abel hors programme.
Séries numériques. Convergence. Linéarité,
positivité. Séries à termes positifs. Théorèmes de comparaison. Critères
de Cauchy et de d'Alembert.
Comparaison série/intégrales. Séries de Riemann et de
Bertrand. Convergence absolue. Absolue convergence implique convergence.
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Séries
semi-convergentes. Séries alternées. Le critère d’Abel est hors
programme.
