• Le premier cours aura lieu mardi 2 septembre 2025 à 8h Amphi 5 du déambulatoire

    Consultez les prérequis à cette UE.

    Responsable de l'UE : Thomas Blossier (bureau 109D)

    Chargés de TD : Tuna Altınel, Thomas Blossier, Sébastien Gauthier, Pierre Gonin-Joubert, Baptiste Schilling

    Emploi du temps prévisionnel à partir du 9 septembre :

    • cours tous les mardis de 9h à 11h Amphi 5, sauf le 21 octobre de 8h à 11h15 et le 4 novembre, partiel à 9h45.
    • travaux dirigés tous les mercredis de 14h à 17h15

    • Chapitre 1 : Nombres réels

      Cours du 2 septembre : 
      Approche axiomatique de \(\mathbb{R}\) : unique corps commutatif totalement ordonné satisfaisant l'axiome de la borne supérieure (existence et unicité admises). Propriétés de l'ordre. (Exemples/culture :  \(\mathbb{Q}\) est également un corps totalement ordonné, par contre le corps  \(\mathbb{C}\) ne peut être muni d'un ordre qui en fait un corps totalement ordonné.) Valeur absolue et inégalité(s) triangulaire(s). (Voir le diaporama de rappels sur les nombres réels de l'UE Analyse 2 - diapos 2 à 9.) Majorants, minorants, parties majorées, minorées, maximum, minimum (exemple des segments). Une propriété de \(\mathbb{N}\)  : toute partie non vide de \(\mathbb{N}\) admet un minimum. \(\mathbb{R}\) est archimédien (\(\mathbb{Q}\) également) : \(\forall a \in \mathbb{R} \;\exists n \in \mathbb{N}\; n>a \), c.à.d. \( \mathbb{N}\) n'est pas majorée dans \(\mathbb{R}\). La suite \((1/n)_{n \geq 1}\) converge vers \(0\). Toute partie non vide majorée de \(\mathbb{Z}\) admet un maximum. Partie entière, densité de \(\mathbb{Q}\). Borne supérieure, lien avec maximum, exemple des intervalles. Axiome de la borne supérieure. Exemple de l'intersection d'un intervalle avec \(\mathbb{Q}\).  (Pour la culture : \(\mathbb{Q}\) ne satisfait pas l'axiome de la borne supérieure). Caractérisations de la borne supérieure. Exemples. Preuve de la convergence des suites monotones majorées/minorées. Suites adjacentes.
      Cours du 9 septembre
      Suites extraites.Théorème de Bolzano-Weierstrass. Suites de Cauchy. Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des bornes atteintes (toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes)

    • Liste des énoncés et démonstrations à connaître :

      1. Chapitre 1
        • Théorème de caractérisations de la borne supérieure : soit \(A\) une partie non vide majorée de \(\mathbb{R}\) et \(b\) un réel. On a \(b=\sup A \) si et seulement si \(b\) est un majorant de  \(A\)  et \( \forall \varepsilon > 0 \; \exists a \in A,\; a > b -\varepsilon\) si et seulement si \(b\) est un majorant de \(A\) et il existe une suite d'éléments de \(A\) qui converge vers  \(b\).
        • Définition des suites de Cauchy. Proposition : toute suite convergente est de Cauchy.

    • Programme de l'UE - Thématiques abordées

      • Nombres réels : sup, inf. Relations d’ordre. Retour sur la preuve de la convergence des suites monotones minorées/majorées. Suites extraites, preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass, preuve du théorème de Weierstrass. Continuité uniforme. 

      • Intégrale de Riemann : fonctions en escaliers. Fonctions continues par morceaux. Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment. Sommes de Riemann : si \( f : [a, b] \to \mathbb{R}\) est continue par morceaux alors la somme de Riemann \(\displaystyle \dfrac{b-a}{n}\sum_{k=0}^n f\left(a+k\dfrac{b-a}{n}\right)\) tend vers l'intégrale de\( f \) sur \( [a,b]\). Preuve dans le cas où \( f \) est \(C^1\). Théorème fondamental du calcul intégral (preuve).

      • Méthode des rectangles, des trapèzes. Polynômes d’interpolation de Lagrange et construction de formules de quadrature.  

      • Intégrales généralisées pour les fonctions \(f : I \to \mathbb{R }\) continues par morceaux sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \). Convergence. Linéarité, positivité, relation de Chasles. Cas des fonctions à valeurs positives. Intégrales de Riemann et de Bertrand. Théorèmes de comparaison. Convergence absolue. Exemple d'intégrale semi-convergente. Changements de variables. Intégration par parties. Abel hors programme. 

      • Séries numériques. Convergence. Linéarité, positivité. Séries à termes positifs. Théorèmes de comparaison. Critères de Cauchy et de d'Alembert.

      • Comparaison série/intégrales. Séries de Riemann et de Bertrand. Convergence absolue. Absolue convergence implique convergence. Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Séries semi-convergentes. Séries alternées. Le critère d’Abel est hors programme. 



    • Référence bibliographique

      François Liret et Dominique Martinais Analyse 1ère année (Chapitres 1, 4, 9, 10, 16, 17) - Analyse 2ème année (Chapitres 1 & 2)
      Le tome Analyse 1ère année est accessible numériquement sur ScholarVox.
      Les deux tomes se trouvent à la BU Sciences - la Doua - 4e étage  - côte 515.07 LIR

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