Analyse 3

• Définition (convergence/divergence) pour des intervalles semi-ouverts. Premiers exemples.
• Intégrales de Riemann :
  • \(\int_1^{+\infty} \frac 1 {t^\alpha} dt\) converge ssi \(\alpha>1\).
  • \(\int_0^1 \frac 1 {t^\alpha} dt\) converge ssi \(\alpha<1\).
• Linéarité, monotonie, relation de Chasles.

Cours du 14 octobre :

• Cas des fonctions à valeurs positives.
  Critère de convergence de \(\int_a^{+\infty} f(t) dt\) pour \(f \geq 0\) : la fonction \(x\mapsto \int_a^{x} f(t) dt\) est croissante et \(\int_a^{+\infty} f(t) dt\) converge ssi \(x\mapsto \int_a^{x} f(t) dt\) est majorée.
  Premier théorème de comparaison : cas où \(f\) est majorée par \(g\) au voisinage de \(+\infty\). (Cas où \(f=o(g)\) ou \(f=O(g)\) au voisinage de \(+\infty\)).
  Intégrales de Bertrand : \(\int_2^{+\infty} \frac 1 {t^\alpha (\ln t)^\beta} dt\) converge ssi \(\alpha>1\) ou (\(\alpha=1 \text{ et } \beta>1\)).
  Second théorème de comparaison : si \(f\) et \(g\) sont équivalentes au voisinage de \(+\infty\), leurs intégrales sont de même nature. 
• Fonctions de signes arbitraires.
  Intégrales absolument convergentes et inégalité triangulaire. Exemple.

Cours du 21 octobre :

• Intégrales semi-convergentes. Exemple : \(\int_1^{+\infty} \frac{sin t}{t} dt\).
• Intégrales impropres sur des intervalles ouverts. Exemples
• Intégration par parties pour des intégrales impropres : soit \(I\) un intervalle, \(u\colon I\to\mathbb{R}\) et \(v\colon I\to\mathbb{R}\) de classe \(C^1\), \(a \in I\) et \(b\) une des extrémités de \(I\) (finie ou infinie) tel que la fonction \(uv\) a une limite finie en \(b\) . Alors les intégrales \( \displaystyle\int_a^bu'(t)v(t)dt\) et   \( \displaystyle\int_a^bu(t)v'(t)dt\) sont de même nature, et dans le cas où elles convergent on a \( \displaystyle\int_a^bu'(t)v(t)dt=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^bu(t)v'(t)dt\).
  Remarque : énoncé analogue dans le cas où \(a\) est également une extrémité de \(I\) (finie ou infinie), c'est-à-dire dans le cas où \(I= ]a,b[\).
• Théorème de changement de variables pour une intégrale impropre : soit \(I\) et \(J\) deux intervalles, \(f\colon I\to\mathbb{R}\) continue et \(\varphi\colon J\to\mathbb{R}\) une fonction strictement monotone de classe \(C^1\) telle que \(\varphi(J)\subset I\).
  Soit \(a\) un élément ou une extrémité (finie ou infinie) de \(J\). Soit \(b\) un élément ou une (autre) extrémité (finie ou infinie) de \(J\).
  Notons \(\alpha = \lim\limits_{x \rightarrow a} \varphi(x)\) et \(\beta = \lim\limits_{x \rightarrow b} \varphi(x)\). Remarque : dans le cas où \(a \in J\), respectivement \(b \in J\), on a \(\alpha = \varphi(a)\), respectivement \(\beta = \varphi(b)\).
  Alors l'intégrale  \( \displaystyle\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt\) est convergente si et seulement si  \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\) est convergente; et si c'est le cas \( \displaystyle\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)dt = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\).
  Exemple des intégrales de Bertrand en \(0\).

• Généralités : 
  • Notations et définitions (séries, sommes partielles, restes)
  • Premières propriétés : si la série \(\sum u_n\) converge alors la suite \((u_n)\) converge vers \(0\), contre-exemple à la réciproque (la série harmonique diverge).
  • Premiers exemples : séries géométriques, exponentielles, télescopiques.
  • Linéarité et monotonie.

• Séries à termes positifs :
  • Proposition : Une série \(\displaystyle\sum u_n\) à termes positifs converge si et seulement si la suite \((S_n)\) de ses sommes partielles est majorées et dans ce cas pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a \(S_n \leq \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\).
    Si cette série à termes positifs diverge alors la suite \((S_n)\) tend vers \(+\infty\) et on écrit dans ce cas \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = +\infty\).
  • Premier théorème de comparaison : soit \(\displaystyle\sum u_n\) et \(\displaystyle\sum v_n\) deux séries et \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq n_0\), on a \(0 \leq u_n \leq v_n\). On a avec cette hypothèse :
    • si la série \(\sum v_n\) converge alors la série \(\sum u_n\) converge et dans ce cas,  \(\displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n \leq \displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} v_n\).
    • (contraposée) : si la série \(\sum u_n\) diverge alors la série \(\sum v_n\) diverge.
    • La réciproque est fausse - contre-exemple : pour tout \(n \geq 1\), \(0 \leq \cfrac{1}{n(n+1)} \leq \cfrac{1}{n}\) et la série \(\displaystyle \sum \cfrac{1}{n(n+1)}\) converge mais la série \(\displaystyle \sum \cfrac{1}{n}\) diverge.
  • Remarque : on peut remplacer l'hypothèse « il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq n_0\), \(0 \leq u_n \leq v_n\) » par \(u_n = o(v_n)\) ou par \(u_n = O(v_n)\) et les termes des deux séries sont positifs pour \(n\) assez grand..
  • Second théorème de comparaison : soit \(\displaystyle\sum u_n\) et \(\displaystyle\sum v_n\) deux séries à termes positifs tel que \(u_n \sim v_n\). Alors la série \(\sum u_n\) converge si et seulement si la série \(\sum v_n\) converge.
  • Remarque : dans le second théorème de comparaison, il n'est pas nécessaire de vérifier au préalable que la série \(\displaystyle\sum u_n\) est à termes positifs, il suffit de vérifier qu'il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq n_0\), \(v_n >0\).
  • Exemples d'applications des 2 théorèmes de comparaison.
  • Règle de Cauchy, exemples.
  • Règle de d'Alembert, exemples dont les séries exponentielles.

• Séries à termes positifs (fin) :
  
  • Théorème de comparaison avec une intégrale : Soit \(a\) un réel et \(f:[a, +\infty[ \to \mathbb{R}\) une fonction positive décroissante. Alors pour tout \(n_0 \geq a \), la série \(\displaystyle \sum_{n \geq n_0} f(n) \) est convergente si et seulement si l'intégrale impropre \(\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(t) dt\) est convergente, et dans ce cas, \( \displaystyle \sum_{k = n_0+1}^{\infty} f(k) \leq \int_{n_0}^{+\infty} f(t) dt \leq \sum_{k = n_0}^{\infty} f(k)\).