Diffusion Projets Expérimentaux Scientifiques

II. Aspects théoriques

Cette section détaille les principes physiques régissant le comportement de notre capteur et les modèles utilisés pour interpréter nos mesures.

2.1. Le modèle du condensateur plan

Pour caractériser nos matériaux, nous considérons en première approximation un condensateur plan idéal dont la capacité C vaut :

\( C = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 S}{e} \)

S : surface des plaques (en ㎡)

e : épaisseur de l’échantillon (en m)

ε₀ : permittivité du vide (8,854 . 10⁻¹² F/m)

ε_r : permittivité diélectrique relative de l’échantillon (valeur recherchée pour trier et identifier le matériau)

Hypothèse 1 : champ uniforme et effets de bords

Dans un modèle idéal, on suppose que le champ électrique est parfaitement uniforme et confiné entre les deux plaques. En pratique, aux extrémités du condensateur, les lignes de champ se courbent vers l’extérieur : ce sont les champs de fuite (ou effets de bord). 

Figure 1. Schéma illustrant la différence entre un condensateur plan idéal puis avec effets de bord

Ces effets ont deux conséquences majeures sur nos mesures : 

• La capacité mesurée sera systématiquement supérieure à la capacité théorique. 

• La permittivité déduite expérimentalement peut alors être surestimée puisqu'elle dépend directement de la capacité mesurée.

Validation du modèle : 

Pour limiter cette erreur à 1%, la littérature scientifique recommande un rapport \( \frac{\sqrt{S}}{e} \) > 50 . Si ce rapport est proche de 10, l’erreur monte à 10-15%, ce qui reste une approximation acceptable dans le cadre de ce projet.

Pour nos plaques de 11 x 16 cm (S = 0,017 m²)  avec des échantillons allant de 0,85 mm à 2,4 cm, nous obtenons :  

\( 5,4 < \frac{\sqrt{S}}{e} < 153 \)

Pour les matériaux fins (< 2 mm), l’erreur est négligeable.

Pour les matériaux d'épaisseur intermédiaire (2 mm à 13 mm), l’erreur est présente mais maîtrisée.

Au-delà de 13 mm, ils ne seront plus négligeables.

Hypothèse 2 : distribution des charges

Nous considérons que la densité surfacique de charge est uniforme sur toute la face interne des plaques de cuivre, ce qui suppose un bon contact entre les plaques et le matériau ainsi qu’une surface suffisamment homogène et propre.

2.2. La physique du diélectrique : la polarisation

Pourquoi mesurer la capacité d’un matériau permet-elle de remonter à la permittivité? Et pourquoi l’insertion d’un isolant augmente-t-elle cette capacité alors qu’aucun courant ne passe?

La polarisation est la clé de ce phénomène.

Réaction du matériau

Lorsqu’on applique une tension aux bornes des plaques, les électrons sont forcés à s’accumuler sur une plaque et à quitter l’autre. Cette différence de charge crée un champ électrique externe E_ext qui traverse l’espace entre les plaques. Le matériau est un isolant donc ses électrons ne peuvent pas circuler librement mais vont légèrement se déplacer : la polarisation a lieu. Les molécules du matériau se polarisent et créent des dipôles qui génèrent leur propre champ électrique interne appelé champ de polarisation E_pol.

L’opposition des champs

Ce champ E_pol s’oppose au champ initial. Le champ total à l’intérieur du condensateur est donc plus faible que s’il y avait du vide :

E_total = E_ext - E_pol

Evolution de la capacité

L'Arduino (qui applique la tension aux bornes des plaques dans ce projet) impose une tension V constante. Comme le champ électrique est affaibli par le matériau, le système doit accumuler davantage de charges Q sur les plaques pour maintenir cette tension V imposée par la source. La capacité étant définie par C = Q/V, une augmentation de la charge stockée Q pour une tension V constante conduit à une augmentation de la capacité. Le facteur multiplicateur par rapport au vide correspond à la permittivité relative ε_r.

2.3. Modélisation des imperfections : le condensateur en série

Dans le modèle idéal du condensateur plan, le matériau est supposé être en contact parfait avec les plaques conductrices. En pratique, des irrégularités de surface entraînent la présence de fines couches d’air entre les plaques et les matériaux. Le système se comporte alors comme deux condensateurs montés en série. 

La capacité équivalente mesurée peut alors être modélisée par la relation :    

C_air : capacité de l'air induite par les deux lames d'aires éventuelles de part et d'autre du matériau

L’air possédant une permittivité très faible (εr​ ≈1), sa capacité associée est faible. Or, dans une association en série, la plus faible capacité domine le comportement global. Même une lame d'air très fine peut donc conduire à une diminution significative de la capacité mesurée et entraîner à une sous-estimation significative de la permittivité finale. Cette modélisation est particulièrement importante pour les matériaux présentant des surfaces rugueuses, poreuses ou hétérogènes, comme certaines mousses ou cartons multicouches étudiés au cours du projet.

III. Choix techniques

3.1. Abandon du circuit RC

Initialement, nous avions envisagé la mesure de la constante de temps d'un circuit RC (avec τ = RC), ce qui nous aurait permis d’avoir C grâce à notre condensateur pour remonter à la permittivité de nos échantillons. Cependant, cette méthode n’était pas adaptée aux très faibles valeurs de capacité que nous allions trouver avec nos matériaux. En effet, avec des calculs théoriques, nous avons déterminé que nos capacités seraient de l’ordre des centaines de picofarads voire moins. Avec une capacité de 100 pF et une résistance de 1 MOhm, tau est d’environ 100 micros. La résolution temporelle de l'Arduino (environ 4micros) et le bruit électronique rendaient cette mesure instable. Pour différencier des matériaux aux permittivités proches, une précision bien supérieure était nécessaire.

3.2. Mesure de la capacité par différence de tension

Face à cet obstacle, nous avons opté pour une méthode utilisant uniquement notre condensateur et une carte Arduino. En effet, la carte possède un comportement capacitif interne. C'est à dire que le courant délivré par celle-ci passe par un condensateur interne et propre à la carte. 

Figure 2. Schéma électrique du circuit de mesure

Explication des symboles :

• A₀ et A₂ : Broches analogiques de la carte Arduino
• C_e : Capacité interne résultante des broches A₀ et A₂ (25 pF selon les données constructeurs)
• C : Condensateur dont on veut mesurer la capacité
• U_m : Tension de référence délivrée par l'Arduino (5V)
• U : Tension mesurée aux bornes de C_e

Principe de mesure :

• À t = 0, les deux condensateurs sont déchargés ce qui nous permet d'avoir conservation de la charge entre eux. Par conséquent, si on pose q₁ la charge dans le condensateur C_m et q₂ la charge dans le condensateur C_e on a:

q₁ = q₂

Normalement, les broches A₀ et A₂ servent à récupérer des données. Or, on peut aussi s'en servir pour délivrer du courant en les plaçant en position "HIGH" à l'aide d'une ligne de code dans le code Arduino:

• À t > 0, le courant se diffuse dans le circuit. Comme on ne place pas de résistance dans le circuit et que les capacités des condensateurs sont très faibles on a un chargement presque instantané des condensateurs. Une fois l'état stationnaire atteint on récupère la valeurs de U à l'aide de A₀.

Par la suite on repasse A₂ en position "LOW" afin de pouvoir décharger l'ensemble du circuit et donc préparer les condensateurs pour une autre mesure.

On en déduit C par la formule (Démonstration en annexe, partie 2):

\( C = \frac{C_e \times U }{U_m - U} \)

Il est important de noter que dans ce calcul les valeurs de tension ne sont pas en volt mais en bits. Arduino utilisant 10 bits les valeurs de tension sont codées sur 1024 valeurs entre 0 et 1023 avec une tension de 5V valant 1024, la valeur maximale.

Par conséquent, si C >> C_e on a U_m - U << 1. Or le codage sur 1024 valeurs fait qu'on manque trop de précision dans ce cas ci. Il faut donc que C et C_e soient à peu près du même ordre de grandeur. Expérimentalement, nous avons validé la fiabilité des mesures jusqu'à environ C = 2,5 nF.

V. Protocole expérimental et étalonnage 

La fiabilité de nos résultats repose sur un protocole visant à garantir la reproductibilité des mesures et à quantifier les incertitudes expérimentales.

5.1. Chaîne d'acquisition et de traitement numérique

Pour ce projet, deux langages de programmation ont été utilisés : Python et Arduino, ce dernier étant basé sur le C++. L'utilisation d'Arduino s'impose naturellement puisqu'il s'agit du seul moyen de programmer la carte microcontrôleur. Le recours à Python est quant à lui motivé par la nécessité d'automatiser l'acquisition et la sauvegarde des données, opérations qui ne sont pas réalisables directement avec Arduino. En effet, Python permet d'écrire automatiquement les mesures dans un fichier organisé et facilement exploitable, ce qui facilite grandement le calcul ultérieur des incertitudes statistiques et de répétabilité.

Le déroulement d'une acquisition se fait de la façon suivante :

1. Le programme Arduino est téléversé sur la carte, ce qui déclenche le début des mesures. La valeur de capacité calculée est envoyée en continu via le port USB à l'aide de l'instruction: Serial.println(CAPA), avec CAPA la variable qui contient les données de la mesure à l'instant t. Tant que le programme Python n'est pas lancé, ces données ne sont pas sauvegardées.
2. Le programme Python est lancé. L'utilisateur choisit le répertoire d'enregistrement, puis le programme établit la communication avec la carte via le port série virtuel (ici COM5) grâce à la bibliothèque Pyserial. Un fichier au nom horodaté est automatiquement créé, permettant d'identifier le moment de l'acquisition. Les mesures sont ensuite lues séquentiellement et enregistrées dans ce fichier, également horodatées, jusqu'à ce qu'un nombre prédéfini de valeurs soit atteint, après quoi le programme s'arrête automatiquement.
3. Une fois Python arrêté, Arduino continue d'effectuer des mesures non enregistrées. Pour relancer une acquisition, il est nécessaire de réinitialiser le port série en retéléversant le programme Arduino.

Figure 3. Extrait du fichier de la mesure de la capacité pour une épaisseur d'air de 3mm

On voit donc que la première colonne correspond à la date, la seconde à l'heure et la troisième à la valeur de capacité mesurée en pF. Tous les fichiers ont la même forme ce qui simplifie grandement leur analyse ainsi que le calcul de la permittivité.

Cette analyse c'est l'objectif d'un second programme Python dédié. Il s'exécute comme ceci:

1. L'utilisateur choisit le fichier de la mesure de capacité avec son matériau et le fichier de la mesure de la capacité avec l'air correspondant à la même épaisseur
2. Le programme trace deux graphiques correspondant respectivement aux mesures de la capacité pour le matériau et pour l'air en fonction de l'indice de celles-ci. Ci-dessous un exemple de ces graphiques:
   
   Figure 4.1 et 4.2. Graphiques des mesures de capacité pour le Plexiglas et l'air (épaisseur = 3 mm) en fonction de l'indice de la mesure  
   
   
3. Par la suite le programme fait une moyenne des valeurs de capacité pour le matériau et pour l'air. On peut donc en déduire une valeur de permittivité sans incertitude pour le moment. On effectue ensuite un calcul des 3 incertitudes calculables dans les cellules suivantes : incertitude statistique, incertitude de répétabilité et incertitude sur la précision du microcontrôleur Arduino. À la fin on en déduit une valeur de permittivité avec incertitude présentée comme ceci :
   
   

Figure 5. Exemple du résultat final de la permittivité après calcul des incertitudes pour une épaisseur de Plexiglas de 3 mm

Vous pourrez retrouver les trois programmes à la fin de cette page, en annexe partie 3, sous forme de fichiers téléchargeables :

• mesure_capacite.ino (programme Arduino pour l'acquisition)
• enregistrement_capacite.ipynb (programme Python pour l'enregistrement des données)
• calcul_permittivite.ipynb (programme Python pour l'analyse des données)

Un fichier READ_ME.txt faisant office de mode d'emploi est également joint. 

5.2. Méthode générale d'acquisition

Afin de garantir la fiabilité de nos données, nous avons suivi une méthode de mesure systématique pour chaque échantillon.

Plutôt que de nous fier à une mesure unique, nous réalisons pour chaque configuration 5 séries de 100 mesures successives durant 20 secondes. Cette approche statistique, traitée ensuite par notre script Python, permet de lisser le bruit électronique et de calculer une moyenne de la capacité ainsi que son écart-type. 

5.2. Etalonnage à l'air

L'étalonnage à l'air est une étape cruciale. Puisque la permittivité de l'air est connue (ε_r ≈ 1), ces mesures permettent de vérifier la linéarité du capteur et ont ensuite été utilisées comme référence pour la méthode relative développée au cours du projet.

Protocole spécifique et montage

Pour imposer une distance contrôlée entre les plaques, nous avons utilisé deux types d'entretoises :

• Cales en impression 3D : Des hauteurs de 0,5 cm, 1 cm et 1,5 cm ont été utilisées pour couvrir une large plage de mesures.
• Cales sur mesure : Certaines ont été fabriquées à partir des matériaux étudiés afin d'obtenir des distances correspondant exactement aux épaisseurs utilisées lors des futurs tests avec échantillons.

Les entretoises étaient systématiquement placées aux quatre coins des plaques, sur les bandes périphériques isolées (sans cuivre). Cette précaution garantit que le matériau de la cale n'influence pas le champ électrique central et donc la capacité mesurée. Les plaques étaient ensuite maintenues parallèles par les supports d’angle en PLA.

Contrairement aux mesures sur solides, aucun poids n'a été appliqué sur la plaque supérieure durant l'étalonnage. Les plaques étant surélevées par les cales, une charge mécanique aurait risqué de provoquer une flexion du PCB, compromettant le parallélisme parfait requis par le modèle théorique.

Analyse des résultats et linéarité

Le protocole d'acquisition est resté identique (5 séries de 100 mesures moyennées) afin de stabiliser les résultats. La relation théorique prévoit une évolution de la capacité proportionnelle à l'inverse de l'épaisseur (1/e).

La relation théorique du condensateur plan pour l'air prévoit une évolution linéaire de la capacité en fonction de l’inverse de l’épaisseur : \( C = \epsilon_r \epsilon_0 S \cdot \frac{1}{e} \)

Figure 9: Graphique représentant l'évolution de la capacité de l'air en fonction de 1/e

Comme l'illustre le graphique ci-dessus, le tracé expérimental de la capacité en fonction de 1/e présente un comportement linéaire satisfaisant avec un coefficient de détermination R² ≈ 0,961. Cette linéarité valide le comportement "plan idéal" de notre montage malgré les inévitables limitations expérimentales.

L'équation de la droite de régression (y = 76,6x + 10,4) révèle une ordonnée à l'origine non nulle (environ 10,4 pF). Cette valeur représente la capacité parasite du montage (câblage et circuit interne de l'Arduino) valable seulement pour l'air. Cette phase d'étalonnage est indispensable pour définir la capacité interne de référence du microcontrôleur (C_int), paramètre clé pour convertir les tensions lues en valeurs de capacité absolues. En testant différentes valeurs, nous avons déterminé que pour C_int = 25 pF la courbe d'étalonnage présentait le meilleur coefficient de détermination, nous permettant ainsi de "caler" précisément le système.

Ces mesures à l'air ont permis de confirmer que notre dispositif est apte à détecter des variations fines de capacité. Elles constituent également le socle de la méthode relative développée pour la suite du projet : en comparant les capacités mesurées avec matériau et avec air pour une même épaisseur, nous pouvons estimer avec plus de fiabilité la permittivité ε_r des solides étudiés.

5.3. Caractérisation des matériaux solides

Une fois le système étalonné, nous passons à la mesure des matériaux (PLA, PVC, MDF, etc.).

Protocole de mise en place et lestage

L'échantillon est inséré entre les armatures. Pour pallier le problème de la lame d'air parasite (voir section 2.3), nous appliquons une pression mécanique constante de 3 kg.

Ce lestage est réalisé à l'aide d'un dispositif standardisé (brique de lait, paquets de riz et de semoule). Cette force permet d'assurer un bon contact entre le cuivre et le matériau, en écrasant les micro-rugosités de surface qui agiraient autrement comme des condensateurs en série de faible valeur, faussant radicalement le calcul de ε_r. Ainsi, nos mesures se rapprochent bien plus des valeurs de capacité théoriques attendues.

VI. Résultats et interprétation

6.1. Résultats des mesures de permittivité: méthode directe et méthode relative

Les premières mesures de permittivité obtenues à partir du modèle direct du condensateur plan ont présenté des écarts importants avec les valeurs théoriques attendues, avec un écart relatif moyen d’environ 33 %. Ces différences suggèrent que plusieurs limitations expérimentales influencent significativement les mesures réalisées. Les principales sources d’erreur identifiées concernent notamment les capacités parasites du montage, les effets de bord ainsi que la présence éventuelle de couches d’air entre les matériaux et les plaques du condensateur.

Les fils de connexion, les composants électroniques ainsi que l’environnement proche du dispositif possèdent en effet eux aussi une capacité électrique parasite susceptible de s’ajouter à celle du condensateur étudié, selon : \( Cmesurée = Cmatériau + Cparasite \).

Cet effet devient particulièrement important dans notre cas puisque les capacités mesurées sont de l’ordre de quelques dizaines de picofarads. Nous avons ainsi observé des écarts parfois significatifs entre les valeurs théoriques et expérimentales de permittivité.

Afin de limiter l’influence de ces capacités parasites, nous avons adopté une méthode relative consistant à comparer la capacité mesurée avec un matériau à celle obtenue avec l’air pour une même géométrie de condensateur (même épaisseur e entre les plaques, même surface S ). En supposant que les capacités parasites influencent de manière similaire les deux mesures, il devient alors possible d’estimer la permittivité relative à partir du rapport :  

\( Cmatériau \div Cair\ ≈ \) εr

Afin d’évaluer l’intérêt de cette méthode relative, nous avons comparé les permittivités obtenues par la méthode directe et par la méthode relative pour plusieurs matériaux de référence. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous: 

Figure 10.Tableau récapitulatif des écarts relatifs entre la théorie et la pratique en fonction de la méthode utilisée

Le tableau montre que la méthode relative permet d’obtenir des valeurs de permittivité significativement plus proches des valeurs théoriques attendues que la méthode directe. Cette amélioration suggère que le rapport des capacités permet de compenser partiellement certaines erreurs expérimentales, notamment celles liées aux capacités parasites. L’écart relatif moyen passe ainsi d’environ 33 % avec la méthode directe à environ 12 % avec la méthode relative.

Le graphique suivant compare les permittivités relatives obtenues expérimentalement par la méthode relative aux valeurs théoriques attendues pour les différents matériaux étudiés.

Figure 11. Graphique comparatif entre les attentes théoriques et nos résultats

Pour la majorité des matériaux présents, nous arrivons à nous approcher grandement de la permittivité théorique. Cependant cela ne suffit pas, il faut donc s'intéresser aux incertitudes pour déterminer si notre approche fonctionne scientifiquement ou non.

6.2. Incertitudes de mesure quantifiables et non quantifiables

Pour le calcul de l'incertitude totale nous avons pris en compte trois incertitudes différentes:

Incertitude statistique
Cette incertitude traduit la dispersion des mesures au sein d'une même expérience. Afin de la quantifier, 100 mesures sont effectuées par série expérimentale. L'écart type est calculé selon la relation :

\( \sigma = \sqrt[]{ \frac{1}{n -1} \sum_{i = 1}^n{(C_i-C_{moy})^2} } \) 

où C_moy désigne la moyenne des valeurs de capacité sur la série considérée, σ l'écart type associé et n le nombre de mesures. L'incertitude sur la moyenne est ensuite déterminée par:

\( u_{stat} = \frac{ \sigma }{ \sqrt[]{n} } \)

Cette procédure est appliquée séparément pour l'air et pour le matériau étudié. Les deux contributions sont alors combinées afin d'obtenir l'incertitude statistique totale:

\( u_{stat,tot} = \sqrt[]{( \frac{u_{stat,mat}}{C_{moy,mat}})^2+(\frac{u_{stat,air}}{C_{moy,air}})^2 } \)

L'incertitude relative associée à cette contribution est de 0,1377%.

Incertitude de répétabilité 
Cette contribution rend compte de la variabilité observée entre plusieurs expériences réalisées sur un même matériau. Elle est évaluée selon la même méthodologie que l'incertitude statistique, en substituant aux mesures individuelles les valeurs moyennes de chaque série expérimentale. L'incertitude relative correspondante est de 4,2747 %.

Incertitude liée à Arduino
Cette contribution est associée à la discrétisation de la mesure de tension opérée par la carte Arduino. La sensibilité de la mesure de capacité à une variation unitaire de la valeur numérique est donnée par :

\( \frac{dC}{dval} = \frac{C_{entree} \times 1023 }{(1023 - val)^2} \)

où val désigne la valeur numérique de la tension mesurée, codée sur 10 bits et donc contrainte à prendre des valeurs entières comprises entre 0 et 1023. L'incertitude liée à cette quantification est estimée par la demi-largeur d'une distribution uniforme sur un intervalle de largeur unitaire :

\( u_{val} = \frac{largeur\,de\, l'intervalle\, entre\, deux\, mesures}{ \sqrt[]{12} } = \frac{1}{ \sqrt[]{12}} \)

Les contributions relatives à l'air et au matériau sont ensuite combinées pour donner l'incertitude Arduino totale :

\( u_{arduino} = \sqrt[]{( \frac{ \frac{dC}{dval_{mat}} \times u_{val} }{C_{moy,mat}})^2+ (\frac{ \frac{dC}{dval_{air}} \times u_{val} }{C_{moy,air}})^2 } \)

L'incertitude relative associée à cette contribution est de 0,3608 %.

L'analyse de ces trois contributions permet de dégager deux conclusions. D'une part, l'incertitude de répétabilité constitue la source d'incertitude dominante, ce qui indique qu'une variabilité significative subsiste entre deux expériences conduites sur un même matériau, indépendamment de la précision intrinsèque des mesures. D'autre part, la combinaison quadratique de ces trois contributions conduit à l'incertitude totale :

\( u_{totale} = \sqrt[]{u_{stat}^2+u_{repet}^2+u_{arduino}^2} = 4.2921\% \)

Il convient de noter que ces résultats ont été établis pour le plastique à base d'acide polylactique (PLA). Les valeurs diffèrent selon le matériau considéré : l'incertitude totale s'élève ainsi par exemple à 2,7 % pour le Plexiglas mais à 3,63 % pour le PVC expansé.

Limites de l'analyse d'incertitude et sources d'erreurs non quantifiées

L'analyse précédente met en évidence une incohérence notable : les incertitudes calculées ne permettent pas d'expliquer totalement les écarts observés entre les valeurs de permittivité mesurées et les valeurs théoriques de référence. Par ailleurs, on constate que l'incertitude relative du PVC est inférieure à celle du PLA, alors que dans les faits, c'est pour le PLA que la permittivité mesurée se rapproche le plus de la valeur théorique. Ces contradictions s'expliquent par l'existence de sources d'erreur supplémentaires, non quantifiables dans le cadre des moyens expérimentaux et du temps disponibles.

• Incertitude sur la géométrie du montage
  Si le parallélisme et l'alignement des deux plaques peuvent être vérifiés visuellement, aucun instrument de mesure n'a permis de contrôler ces conditions de manière rigoureuse au cours des expériences. Certains matériaux, notamment les mousses, présentaient une tendance à se déformer légèrement sous l'effet du montage, susceptible d'altérer partiellement le parallélisme des plaques.
  
  
• Incertitude sur la géométrie du matériau
  Dans des conditions idéales, l'expérience requiert un matériau parfaitement homogène et à surface lisse, de façon à éviter toute inclusion d'air entre les plaques. Or, la majorité des échantillons présentaient des défauts de surface tels que des rayures ou des cavités. De plus, l'homogénéité interne des matériaux n'a pas pu être vérifiée : la présence de bulles d'air à l'intérieur de certains échantillons ne peut être exclue. Cette hypothèse est particulièrement suspectée pour le PVC expansé, pour lequel les écarts à la valeur théorique sont systématiquement élevés, quelle que soit l'épaisseur considérée.
  
  
• Incertitude sur la valeur de la capacité d'entrée et des capacités parasites
  La valeur de 25 pF retenue pour la capacité interne du microcontrôleur Arduino correspond à la donnée fournie par le constructeur et a été vérifiée par étalonnage dans l'air. Toutefois, rien ne garantit la stabilité de cette valeur d'une expérience à l'autre. Par ailleurs, les fils de connexion ainsi que la fine lame d'air résiduelle entre le matériau et les plaques introduisent des capacités parasites dont l'amplitude dépend du matériau considéré et s'avère difficile à estimer précisément. Cette difficulté est accentuée par le fait que plusieurs fils ont dû être remplacés au cours du projet en raison de leur détérioration.
  
  
• Incertitude sur les effets de bord
  La validité du modèle du condensateur plan repose sur le critère d'approximation des plaques infinies, caractérisé par le rapport \( \frac{ \sqrt[]{S} }{e} \), où S désigne la surface des plaques et e l'épaisseur du diélectrique. L'évaluation de ce critère pour l'ensemble des matériaux étudiés permet de distinguer trois régimes :
  
  

Effets de bord négligeables (e ≤ 2 mm)
Résultats les plus fiables avec le modèle du condensateur plan :

• PLA 1 et PLA 2
• Doufline 1 et 2
• Feuilles de papier

Effets de bord modérés  (2 mm < e < 13 mm)
Résultats exploitables mais avec une incertitude plus importante :

• Polyéthylène expansé
• Plexiglas
• Composite multicouche
• Composite multicouche ×2
• PVC expansé rigide
• PVC expansé rigide ×2
• MDF
• Carton bois
  
  

Effets de bord importants  e ≥ 13 mm
Résultats très impactés par les effets de bord:

• Mousse expansée

L'ensemble de ces facteurs conduit à une sous-estimation significative de l'incertitude réelle de mesure. Par conséquent, dans un objectif de tri, le dispositif permet de distinguer certains matériaux présentant des permittivités suffisamment différentes. En revanche, les incertitudes systématiques non quantifiées empêchent de garantir la fiabilité générale d’un tri reposant uniquement sur la permittivité mesurée, en particulier pour des matériaux présentant des valeurs proches.

Ce phénomène se remarque encore plus dans une optique d'identification du matériau. En effet, chez seulement deux d'entres eux (PLA et Polyéthylène expansé) la valeur de permittivité mesurée est en accord avec la théorie en tenant compte des incertitudes quantifiables.

Figure 12. Tableau des incertitudes et des permittivités relatives pour les matériaux où l'identification est réussie

IX. Annexe

Modèle 3D du condensateur

https://moodle.univ-lyon1.fr/pluginfile.php/2952960/mod_label/intro/Mod%C3%A8le%203D%20Condensateur.stl

9.1 Bibliographie

Sources académiques/théorie : 

Condensateur plan idéal

Condensateur plan et capacité

Explications en plus du condensateur 

Polarisation et condensateur

Documentation technique :

Méthode Arduino pour faibles capacités

Datasheet de l'Arduino

Outils utilisés :

Tinkercad (modèle 3D)

Python

Arduino IDE

Excel

9.2 Démonstration de la formule de calcul de la capacité

On rappelle que les deux charges sont considérées comme égales à cause des conditions initiales (Les condensateurs sont déchargés à t = 0). Or pour un condensateur on exprime la charge contenu dans celui ci comme:

q = C x U

On en déduit donc:

C x U_C = C_e x U

Avec U_C la tension aux bornes du condensateur inconnu. Pour connaitre la valeur de U_C on doit passer par la loi des mailles:

U_m = U + U_C

U_C = U - U_m

On peut donc en déduire C:

C x ( U - U_m ) = C_e x U

\( C = \frac{C_e \times U }{U_m - U} \)

9.3 Programme Arduino et Python téléchargeable