Analyse Numérique 1 - MAM4

🚀 Introduction : Des EDP aux Solveurs Itératifs de Krylov

Optimisation, convergence et robustesse pour le calcul scientifique

1. Le Défi : La "Malédiction" de la Discrétisation

La résolution numérique des Équations aux Dérivées Partielles (EDP) via les méthodes des Différences Finies ou des Éléments Finis conduit inévitablement à un système linéaire :

Ax = b

Pour des maillages fins (3D, haute fidélité), la taille N de la matrice explose. Les méthodes directes (LU, Cholesky) en O(N3) deviennent impraticables.

La solution ? Les méthodes itératives de sous-espaces de Krylov. L'objectif est de trouver une approximation optimale xk en projetant le problème sur un espace de dimension réduite, assurant une convergence rapide selon les propriétés spectrales de A.

2. Le Cas Symétrique (A = AT)

C'est le cas idéal, souvent issu de problèmes de diffusion ou d'élasticité.

🔹 Défini Positif : Le Gradient Conjugué (CG)

La méthode reine. Elle assure l'optimalité de la convergence (minimisation de l'erreur en norme énergétique).

  • Dépendance au conditionnement κ(A).
  • Nécessité du Préconditionnement (PCG) pour les matrices mal conditionnées.
🔸 Indéfini : MINRES

Pour les matrices symétriques ayant des valeurs propres positives et négatives (points selle, Stokes).

  • MINimal RESidual : Minimise la norme du résidu Euclidien à chaque étape.

3. Le Cas Non-Symétrique (Général)

Dès qu'il y a du transport (convection) ou que la matrice est quelconque, le CG ne s'applique plus. Nous entrons dans la "jungle" des solveurs.

🏆 Le Standard : GMRES
Generalized Minimal RESidual. La méthode la plus robuste. Elle minimise le résidu sur l'espace de Krylov.
⚠️ Coût mémoire élevé → Utilisation du Restart GMRES(m).
⚡ Les Rapides (Bi-Orthogonalisation)
  • BiCG : Utilise deux espaces de Krylov (gauche et droite). Convergence rapide mais chaotique.
  • BiCGSTAB : Bi-Conjugate Gradient Stabilized. Une version lissée du BiCG. C'est souvent le meilleur compromis vitesse/mémoire pour les applications industrielles.
🐢 Les Robustes (Équations Normales)

On se ramène au cas symétrique en travaillant sur ATA ou AAT.

  • CGNR : Gradient Conjugué sur ATAx = ATb. Minimise le Résidu. Très stable mais converge lentement (conditionnement au carré).
  • CGNE : Gradient Conjugué sur AATy = b (avec x = ATy). Minimise l'Erreur.

Objectif du cours : Comprendre la mécanique interne de ces algorithmes pour choisir la stratégie (Solveur + Préconditionneur) adaptée à votre physique.