Introduction aux EDP en analyse fonctionnelle

Les équations aux dérivées partielles (EDP) décrivent la plupart des phénomènes physiques continus — chaleur, vibrations, écoulements, champs électrostatiques.
Mais longtemps, leur étude s’est heurtée à la question du sens des solutions : comment dériver, intégrer, ou même définir une solution quand elle n’est pas régulière ?
C’est précisément là qu’intervient l’analyse fonctionnelle.

Avant d’aborder les outils modernes, rappelons que les espaces

$L^p(\Omega)$

Lp(Ω) mesurent la taille moyenne d’une fonction, tandis que les espaces

$C^k(\Omega)$

Ck(Ω) ou

$C^\infty(\Omega)$

C∞(Ω) décrivent sa régularité. Ces deux approches, mesurable et lisse, vont se rejoindre dans les espaces de Sobolev.

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Chapitre 1 — Les distributions

Au milieu du XXᵉ siècle, Laurent Schwartz révolutionne l’analyse avec la théorie des distributions.
Il donne un cadre rigoureux à l’intuition physique : on peut dériver des fonctions « mal » dérivables, comme la fonction de Heaviside ou le signe.

Dans ce cadre, une fonction devient une forme linéaire sur les fonctions tests

$C_c^\infty$

Cc∞​.
On peut ainsi écrire et manipuler des EDP de manière cohérente, même quand les solutions classiques n’existent pas.

Cette idée ouvre la voie à une reformulation profonde des EDP : au lieu de chercher une solution point par point, on cherche une solution faible, c’est-à-dire une identité valable après intégration contre des fonctions tests.

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Chapitre 2 — Espaces de Hilbert

L’analyse fonctionnelle, développée dès le début du XXᵉ siècle (Hilbert, Riesz, Fréchet), fournit un cadre géométrique : les espaces de Hilbert.
Ce sont des espaces de fonctions où l’on peut parler d’orthogonalité, de projection, de convergence — des notions essentielles pour les formulations variationnelles.

Les problèmes d’EDP deviennent alors des équations abstraites du type :

$a(u,v) = L(v), \quad \forall v \in H,$

a(u,v)=L(v),∀v∈H,

où

$a$

a est une forme bilinéaire continue et

$H$

H un espace de Hilbert.
Le théorème de Lax-Milgram (1954) garantit alors l’existence et l’unicité de la solution faible.

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Chapitre 3 — Espaces de Sobolev et problèmes elliptiques

Les espaces de Sobolev, introduits par Sergueï Sobolev dans les années 1930, marquent une avancée majeure.
Ils permettent de combiner les notions d’intégrabilité (

$L^p$

Lp) et de dérivée faible (au sens des distributions).
Ainsi, on peut mesurer la régularité d’une fonction sans exiger qu’elle soit

$C^1$

C1.

Ces espaces sont devenus le langage naturel pour étudier les problèmes elliptiques (comme l’équation de Laplace ou de Poisson), qui modélisent les équilibres et les états stationnaires.
Les solutions y existent, sont uniques, et possèdent des propriétés de régularité remarquables.

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Conclusion

De Schwartz à Sobolev, l’analyse fonctionnelle a transformé l’étude des EDP :
elle a permis de passer du calcul formel à une théorie abstraite mais rigoureuse, où l’on peut donner un sens et démontrer l’existence de solutions à des équations jusque-là inaccessibles.