$course$/top/Matrices On considère les matrices : \[A= \left (\begin {array}{rc} 1&2\\ 3&4\end {array}\right ),\; B= \left (\begin {array}{rc} 1&1\\ 1&-1\end {array}\right ),\; C= \left (\begin {array}{rc} 1&3\\ 5&9\end {array}\right ),\; D= \left (\begin {array}{rc} 3&-1\\ 7&-1\end {array}\right )\mbox { et }E= \left (\begin {array}{rc} 4&6\\ -2&2\end {array}\right ).\] Quelles sont les assertions vraies ?

]]> 1.0 On a : $2A-B=C$, $AB=D$ et $BA = \left (\begin {array}{rc}4&6\\-2&-2 \end {array}\right )$.

]]> 0.10 0 false 1 abc $2A-B=C$

]]> $AB=D$

]]> $BA=E$

]]> $AB=BA$

]]> On considère les matrices : \[A=\left (\begin {array}{rcc} 1&1&2\end {array}\right ),\; B= \left (\begin {array}{rc}1\\-1\\ 1 \end {array}\right ),\; C= \left (\begin {array}{rcc} 1&3&1\\ 1&1&1 \end {array}\right ),\; D= \left (\begin {array}{rc} 0&1\\ 1&-1\\ 2&1 \end {array}\right )\mbox { et }E=\left (\begin {array}{rc}5&-1\\3&1\end {array}\right ).\] Quelles sont les assertions vraies ?

]]> 1.0 Les opérations $A+B$ et $CA$ ne sont pas définies.

]]> 0.10 0 false 1 abc $A+B=B$

]]> $AB=\left (\begin {array}{rc}2\\ \end {array}\right )$

]]> $CA=\left (\begin {array}{rc}6\\ 2\\\end {array}\right )$

]]> $CD=E$

]]> On considère les matrices : \[A= \left (\begin {array}{rcc} 1&1&2\\ -1&0&2\\ 1&-1&1\\ \end {array}\right ) \quad \mbox {et} \quad B= \left (\begin {array}{rcc} 1&1&-1\\ 1&1&3\\ -1&1&0\end {array}\right ). \] Quelles sont les assertions vraies ?

]]> 1.0 On a : $A-B= \left (\begin {array}{rcc} 0&0&3\\ -2&-1&-1\\ 2&-2&1\end {array}\right ) \quad $ et $ \quad AB= \left (\begin {array}{rcc} 0&4&2\\ -3&1&1\\ -1&1&-4\end {array}\right ).$

]]> 0.10 0 false 1 abc $2A+3B= \left (\begin {array}{rcc} 5&5&1\\ 1&3&13\\ -1&1&2\end {array}\right ).$

]]> $A-B= \left (\begin {array}{rcc} 0&0&3\\ -2&-1&1\\ 2&-2&1\end {array}\right ).$

]]> $AB= \left (\begin {array}{rcc} 0&4&2\\ -3&1&1\\-1&1&4\end {array}\right ).$

]]> $BA= \left (\begin {array}{rcc} -1&2&3\\ 3&-2&7\\-2&-1&0\end {array}\right ).$

]]> Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ à coefficients réels et $I$ la matrice identité. Quelles sont les assertions vraies ?

]]> 1.0 Les propositions suivantes sont équivalentes :

[(i)] $A$ est inversible.
[(ii)] Il existe une matrice $B$ telle que $AB=BA=I$.
[(iii)] Il existe une matrice $B$ telle que $AB=I$.
[(iv)] Il existe une matrice $B$ telle que $BA=I$.
[(v)] Pour toute matrice $Y$ à une colonne et $n$ lignes, il existe une matrice $X$ à une colonne et $n$ lignes telle que $AX=Y.$

]]> 0.10 0 false 1 abc $A$ est inversible si et seulement s’il existe une matrice $B$ telle que $AB=I$

]]> $A$ est inversible si et seulement s’il existe une matrice $B$ telle que $BA=I$

]]> $A$ est inversible si et seulement si les coefficients de $A$ sont inversibles.

]]> $A$ est inversible si et seulement si pour toute matrice $Y$ à une colonne et $n$ lignes, il existe une matrice $X$ à une colonne et $n$ lignes telle que $AX=Y$

]]> On considère les matrices : \[A=\left (\begin {array}{r} 5 \end {array}\right ),\quad B = \left (\begin {array}{rc}1&-2\\ 2&-4 \end {array}\right ),\quad C = \left (\begin {array}{rcc} 1&1&1\\ 1&0&-1\\ 1&1&0 \end {array}\right ),\quad D =\left (\begin {array}{rcc} -1&1&-2\\ 1&1&0\\ 2&-1&3 \end {array}\right ).\] Quelles sont les assertions vraies ?

]]> 1.0 $A$ est inversible et $A^{-1}=\left (\begin {array}{r}\displaystyle \frac {1}{5}\end {array}\right )$. $B$ n’est pas inversible, puisque les deux vecteurs colonnes sont proportionnels. $C$ est inversible et \[C^{-1} = \left (\begin {array}{rcc} 1&1&-1\\-1&-1&2\\ 1&0&-1 \end {array}\right ).\] $D$ n’est pas inversible, puisque les trois vecteurs colonnes sont linéairement dépendants.

]]> 0.10 0 false 1 abc $A$ est inversible

]]> $B$ est inversible

]]> $C$ est inversible

]]> $D$ est inversible

]]> Soit $ A$ une matrice inversible. On notera $^tA$ la transposée de $A$. Quelles sont les assertions vraies ?

]]> 1.0 Comme $A$ est inversible, il existe une matrice $B$ telle que $AB= BA=I$, où $I$ est la matrice identité. On en déduit : $3A$ est inversible et son inverse est $\displaystyle \frac {1}{3}B$. \vskip 0mm $^tA$ est inversible et son inverse est $ ^tB$. En effet, $I=\, ^t (AB)=\, ^tB\, ^tA$. \vskip 0mm $A^tA$ est inversible et son inverse est $^tBB$. En effet, $(^tBB)A^tA=\, ^tB(BA)^tA= \, ^tB^tA=\, ^t (AB)=I$. \vskip 0mm $A+^tA$ n’est pas nécessairement inversible. Contre exemple : $A=\left (\begin {array}{rc} 1&1\\ -1&0 \end {array}\right ).$

]]> 0.10 0 false 1 abc $3A$ est inversible

]]> $^tA$ est inversible

]]> $A^tA$ est inversible

]]> $A+^tA$ est inversible

]]> Soit $ A=(a_{i,j})$ une matrice carrée. On rappelle les définitions suivantes :

[.] $A$ est dite diagonale si tous les coefficients $a_{i,j}$, avec $i\neq j$ sont nuls.
[.] $A$ est dite symétrique si pour tous $i,j$, $a_{i,j}=a_{j,i}$.
[.] $A$ est dite triangulaire inférieurement (resp. supérieurement) si pour tous $i<j$, $a_{i,j}=0$ (resp. pour tous $i>j$, $a_{i,j}=0$).

Quelles sont les assertions vraies ?

]]> 1.0 $A$ est inversible si et seulement si les vecteurs colonnes sont linéairement indépendants. On en déduit que si $A$ est diagonale, $A$ est inversible si et seulement si tous les coefficients $a_{i,i}$ sont non nuls et que si $A$ est triangulaire (inférieurement ou supérieurement), $A$ est inversible si et seulement si tous les coefficients $a_{i,i}$ sont non nuls. Par définition, $A$ est symétrique si $\, ^tA=A$.

]]> 0.10 0 false 1 abc Si $A$ est diagonale, $A$ est inversible si et seulement s’il existe un coefficient $a_{i,i}$ non nul

]]> Si $A$ est diagonale, $A$ est inversible si et seulement si tous les coefficients $a_{i,i}$ sont non nuls

]]> $A$ est symétrique si $\, ^tA=A$, où $^tA$ est la transposée de $A$

]]> Si $A$ est triangulaire inférieurement, $A$ est inversible

]]> On considère $ M_n(\Rr )$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients réels et $A$, $B$ et $C$ trois matrices non nulles deux à deux distinctes telles que $AB=AC$. Quelles sont les assertions vraies ?

]]> 1.0 On a : $A(B-C)=0$, $A \neq 0$ et $B-C\neq 0$ (le produit de deux matrices peut être nul sans que les deux matrices soient nulles). \vskip 0mm Si $A$ est inversible, alors il existe une matrice $D$ telle que $DA=I$, où $I$ est la matrice identité. Donc $(DA)(B-C) =B-C$. Or $(DA)(B-C)=D(A(B-C))$ et $A(B-C)=0$, donc $B-C=0$, ce qui est absurde. On déduit que $A$ n’est pas inversible .

]]> 0.10 0 false 1 abc $B=C$

]]> $A=0$

]]> $A$ n’est pas inversible

]]>